{"title":"Đề thi thử THPT môn Toán trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"69821915c7f4449be1d5cbf4","section":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"69821915c7f4449be1d5cbf5","section":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"69821915c7f4449be1d5cbf6","section":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d:\\frac{x-1}{1}=\\frac{y-1}{1}=\\frac{z-3}{2}$ ?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$M(-1;-1;-3)$.","correct":false,"reason":"Từ phương trình tham số $x=1+t$, với $x=-1$ suy ra $t=-2$, khi đó $z=3+2(-2)=-1\\neq -3$ nên $M$ không thuộc $d$."},{"label":"B","text":"$N(1;1;2)$.","correct":false,"reason":"Với $x=1$ suy ra $t=0$, khi đó $z=3\\neq 2$ nên $N$ không thuộc $d$."},{"label":"C","text":"$P(-1;-1;-2)$.","correct":false,"reason":"Với $x=-1$ suy ra $t=-2$, khi đó $z=3+2(-2)=-1\\neq -2$ nên $P$ không thuộc $d$."},{"label":"D","text":"$Q(1;1;3)$.","correct":true,"reason":"Khi $t=0$ thì $x=1$, $y=1$, $z=3$ đúng bằng tọa độ điểm $Q$ nên $Q$ thuộc $d$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐường thẳng: $d:\\frac{x-1}{1}=\\frac{y-1}{1}=\\frac{z-3}{2}.$\n\nCác điểm được cho: \nA: $M(-1;-1;-3).$ \n\nB: $N(1;1;2).$ \n\nC: $P(-1;-1;-2).$\n\nD: $Q(1;1;3).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu: xác định điểm nào thuộc đường thẳng đã cho.\n\nKiến thức cần dùng: chuyển dạng tham số của đường thẳng từ dạng đối xứng và kiểm tra xem toạ độ của từng điểm có thỏa hệ tham số hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết dạng tham số của đường thẳng bằng cách đặt mọi tỷ số bằng một tham số $t$:\n$\\frac{x-1}{1}=\\frac{y-1}{1}=\\frac{z-3}{2}=t.$\n\nSuy ra phương trình tham số:\n$x=1+t,\\quad y=1+t,\\quad z=3+2t.$\n\nKiểm tra từng điểm:\nĐiểm $Q(1;1;3)$: nếu $t=0$ thì $x=1+0=1,\\ y=1+0=1,\\ z=3+2\\cdot0=3$ ⇒ thỏa. Vậy Q thuộc d.\n\nĐiểm $M(-1;-1;-3)$: từ $x=1+t=-1$ suy ra $t=-2$; khi đó $z=3+2(-2)= -1\\neq -3$ ⇒ M không thuộc d.\n\nĐiểm $N(1;1;2)$: từ $x=1+t=1$ suy ra $t=0$; khi đó $z=3\\neq 2$ ⇒ N không thuộc d.\n\nĐiểm $P(-1;-1;-2)$: từ $x=1+t=-1$ suy ra $t=-2$; khi đó $z=3+2(-2)=-1\\neq -2$ ⇒ P không thuộc d.\n\n✅ Đáp án: D. $Q(1;1;3)$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình đường thẳng trong không gian","bloomLevel":"remember","tags":["đường-thẳng","phương-trình-tham-số","tọa-độ-điểm","không-gian-oxyz"]},{"id":2,"text":"Nghiệm của phương trình $2^{x+1}=16$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$x=9$.","correct":false,"reason":"Nếu $x=9$ thì $2^{x+1}=2^{10}=1024 \\neq 16$, do đó đáp án A sai."},{"label":"B","text":"$x=5$.","correct":false,"reason":"Nếu $x=5$ thì $2^{x+1}=2^{6}=64 \\neq 16$, do đó đáp án B sai."},{"label":"C","text":"$x=3$.","correct":true,"reason":"Nếu $x=3$ thì $2^{x+1}=2^{4}=16$, thỏa mãn phương trình đã cho, do đó đáp án C đúng."},{"label":"D","text":"$x=7$.","correct":false,"reason":"Nếu $x=7$ thì $2^{x+1}=2^{8}=256 \\neq 16$, do đó đáp án D sai."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình cần giải: $2^{x+1}=16$ \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình. \n\nCần biết cách biểu diễn số 16 dưới dạng lũy thừa của 2 và quy tắc: nếu $2^a=2^b$ thì $a=b$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại số 16 dưới dạng lũy thừa của 2: $16=2^4$. \n\nThay vào phương trình ta được: $2^{x+1}=2^4$. \n\nDo cơ số giống nhau và dương nên ta có: $x+1=4$. \n\nGiải phương trình bậc nhất: $x=4-1$, suy ra $x=3$. \n\nKiểm tra lại: thay $x=3$ vào phương trình ban đầu: $2^{3+1}=2^4=16$, đúng.\n\n✅ Đáp án: $C. x=3.$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","bloomLevel":"remember","tags":["phương-trình-mũ","lũy-thừa","hàm-số-mũ"]},{"id":3,"text":"Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như hình. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$(-2;0)$.","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(-2;0)$, hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$ do $f'(x)>0$ và chỉ nghịch biến trên $(-1;0)$, nên không nghịch biến trên toàn bộ khoảng đã cho."},{"label":"B","text":"$(-1;2)$.","correct":true,"reason":"Theo bảng biến thiên, $f'(x)<0$ với mọi $x \\in (-1;2)$, do đó hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng $(-1;2)$."},{"label":"C","text":"$(-\\infty;-1)$.","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(-\\infty;-1)$, ta có $f'(x)>0$ nên hàm số đồng biến (tăng), không phải nghịch biến."},{"label":"D","text":"$(2;+\\infty)$.","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(2;+\\infty)$, ta có $f'(x)>0$ nên hàm số đồng biến (tăng), không phải nghịch biến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho hàm số $f(x)$ với các điểm phân chia: $-1$ và $2$.\n\nDấu của đạo hàm: $f'(x)>0$ trên $(-\\infty,-1)$, $f'(-1)=0$, $f'(x)<0$ trên $(-1,2)$, $f'(2)=0$, $f'(x)>0$ trên $(2,+\\infty)$.\n\nGiá trị hàm tại các điểm: $f(-1)=0$ (đỉnh cực đại cục bộ), $f(2)=-2$ (đáy cực tiểu cục bộ). Bảng thể hiện hàm tăng lên đến $x=-1$, sau đó giảm đến $x=2$, rồi tăng tiếp.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hàm số đã cho nghịch biến (giảm) trên khoảng nào?\n\nKhái niệm cần dùng: mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm $f'(x)$ và tính đơn điệu của hàm:\nNếu $f'(x)<0$ trên một khoảng thì $f$ nghịch biến trên khoảng đó.\n\nNếu $f'(x)>0$ trên một khoảng thì $f$ đồng biến trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại quy tắc: $f'(x)<0 \\Rightarrow f \\text{ nghịch biến trên khoảng đó.}$\n\nNhìn vào bảng biến thiên (theo mô tả ảnh):\nTrên khoảng $(-\\infty,-1)$ có $f'(x)>0$ ⇒ $f$ tăng.\n\nTại $x=-1$: $f'(-1)=0$ (cực đại).\n\nTrên khoảng $(-1,2)$ có $f'(x)<0$ ⇒ $f$ giảm (nghịch biến).\n\nTại $x=2$: $f'(2)=0$ (cực tiểu).\n\nTrên khoảng $(2,+\\infty)$ có $f'(x)>0$ ⇒ $f$ tăng.\n\nKết luận: khoảng mà hàm nghịch biến là nơi đạo hàm âm, tức là $(-1,2).$\n\n✅ Đáp án: B. $(-1;2)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-thi-thu-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-khoa-hoc-tu-nhien-truong-dai-hoc-khoa-hoc-tu-nhien-2026-lan-1-co-dap-an/1ozr0Cu19AvVQcZjki4_AqHeXixifgBo5_2026-02-03154939.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tính-đơn-điệu","bảng-biến-thiên","khoảng-nghịch-biến"]},{"id":4,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;-1)$ và $B(3;4;-3)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$(1;3;-1)$.","correct":false,"reason":"Tọa độ không đúng. Hoành độ $x=1$ chính là tọa độ của điểm $A$, không phải giá trị trung bình cộng $\\frac{1+3}{2}=2$."},{"label":"B","text":"$(2;1;-2)$.","correct":true,"reason":"Đúng theo công thức trung điểm $M\\left(\\frac{x_A+x_B}{2};\\frac{y_A+y_B}{2};\\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$, ta tính được $x_M=2$, $y_M=1$, $z_M=-2$."},{"label":"C","text":"$(2;1;-12)$.","correct":false,"reason":"Tọa độ cao $z=-12$ sai. Đúng ra $z_M=\\frac{-1+(-3)}{2}=-2$, có thể do nhầm lẫn phép cộng thành phép nhân hoặc nhân sai hệ số."},{"label":"D","text":"$(2;-1;-2)$.","correct":false,"reason":"Tung độ $y=-1$ sai. Đúng ra $y_M=\\frac{-2+4}{2}=1$, có thể do tính nhầm dấu hoặc chỉ lấy nửa tọa độ của điểm $A$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;-2;-1)$.\n\nĐiểm $B(3;4;-3)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$.\n\nTa cần vận dụng công thức trung điểm trong không gian: trung điểm có các hoành độ bằng trung bình cộng các tọa độ tương ứng của hai đầu đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức trung điểm M của đoạn nối hai điểm $A(x_1;y_1;z_1)$ và $B(x_2;y_2;z_2)$ là:\n$M\\left(\\dfrac{x_1+x_2}{2};\\dfrac{y_1+y_2}{2};\\dfrac{z_1+z_2}{2}\\right).$\n\nÁp dụng vào $A(1;-2;-1)$ và $B(3;4;-3)$:\nHoành độ: $\\dfrac{1+3}{2}=\\dfrac{4}{2}=2.$\n\nTung độ: $\\dfrac{-2+4}{2}=\\dfrac{2}{2}=1.$\n\nTọa độ cao: $\\dfrac{-1+(-3)}{2}=\\dfrac{-4}{2}=-2.$\n\nVậy trung điểm $M$ có tọa độ $M(2;1;-2).$\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. }(2;1;-2).$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","bloomLevel":"understand","tags":["tọa-độ-trung-điểm","đoạn-thẳng","không-gian-oxyz"]},{"id":5,"text":"Đồ thị của hàm số $y=\\frac{x+2}{x-2}$ có tiệm cận ngang là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$x=2$.","correct":false,"reason":"Đường $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang (vì khi $x\\to2$, mẫu tiến tới $0$, hàm tiến tới vô hạn)."},{"label":"B","text":"$x=-2$.","correct":false,"reason":"$x=-2$ không phải là tiệm cận ngang; giá trị này không liên quan đến giới hạn của hàm khi $x\\to\\pm\\infty$."},{"label":"C","text":"$y=1$.","correct":true,"reason":"Tiệm cận ngang đúng là $y=1$, vì $\\lim_{x\\to\\pm\\infty} \\frac{x+2}{x-2} = 1$ (bậc tử bằng bậc mẫu, tỉ số hệ số cao nhất là $1/1$)."},{"label":"D","text":"$y=-1$.","correct":false,"reason":"$y=-1$ sai, vì giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$ của hàm là $1$, không phải $-1$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\frac{x+2}{x-2}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là gì?\n\nKiến thức cần áp dụng:\nĐịnh nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (giá trị giới hạn của hàm khi $x \\to \\pm\\infty$).\n\nQuy tắc so sánh bậc của tử và mẫu của phân thức hữu tỉ: nếu bậc tử = bậc mẫu, tiệm cận ngang là đường ngang có phương trình bằng tỉ số hệ số cao nhất của tử và mẫu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại hàm số: $y=\\frac{x+2}{x-2}.$\n\nCách 1 (so sánh bậc): Tử và mẫu đều là đa thức bậc 1, hệ số của $x$ ở cả hai là $1$, nên tiệm cận ngang là $y=\\frac{1}{1}=1.$\n\nCách 2 (chia và xét giới hạn): Ta biến đổi\n$\\frac{x+2}{x-2}=\\frac{(x-2)+4}{x-2}=1+\\frac{4}{x-2}.$\nKhi $x\\to\\pm\\infty$ thì $\\frac{4}{x-2}\\to 0$, do đó $y\\to 1.$\n\nKết luận từ cả hai cách đều cho thấy đường ngang tới của đồ thị là $y=1.$\n\n✅ Đáp án: $C. y=1.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tiệm-cận-ngang","hàm-phân-thức","giới-hạn"]},{"id":6,"text":"Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$y=-x^2+2x-2$.","correct":false,"reason":"Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có hai điểm cực trị, trong khi $y=-x^2+2x-2$ là hàm bậc hai (dạng parabol) nên không thể trùng với hình vẽ."},{"label":"B","text":"$y=x^2-2x-2$.","correct":false,"reason":"Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có hai điểm cực trị, trong khi $y=x^2-2x-2$ là hàm bậc hai (dạng parabol) nên không thể trùng với hình vẽ."},{"label":"C","text":"$y=-x^3+3x^2-2$.","correct":true,"reason":"Hàm số $y=-x^3+3x^2-2$ là hàm bậc ba với hệ số $x^3$ âm ($-1<0$) nên nhánh phải đi xuống khi $x \\to +\\infty$, đồng thời $y(0)=-2<0$ nên cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, phù hợp hoàn toàn với đồ thị đã cho."},{"label":"D","text":"$y=x^3-3x^2-2$.","correct":false,"reason":"Hàm số $y=x^3-3x^2-2$ có hệ số $x^3$ dương ($1>0$) nên khi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to +\\infty$ (nhánh phải đi lên), trái ngược với đồ thị trong hình có nhánh phải đi xuống."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho đồ thị của một hàm số (hình vẽ bên).\n\nĐồ thị có các đặc điểm quan sát được:\nLà đường cong, không phải đường thẳng.\n\nCó hai điểm uốn/cực trị → dạng hàm bậc ba.\n\nNhánh bên phải đi xuống khi $x$ tăng lớn.\n\nĐồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.\n\nCác phương án cho dưới dạng:\nA, B: hàm bậc hai.\n\nC, D: hàm bậc ba.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu:\n👉 Hàm số nào có đồ thị trùng với hình vẽ đã cho?\n\nHọc sinh cần vận dụng:\nNhận dạng dạng đồ thị theo bậc của hàm số.\n\nXét chiều nhánh trái – phải để xác định dấu của hệ số bậc cao nhất.\n\nSo sánh tung độ tại $x=0$ với đồ thị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Loại các phương án không phù hợp về bậc\nĐồ thị có hai điểm cực trị ⇒ hàm bậc ba.\n\nLoại:\nA: $y=-x^2+2x-2$ (bậc hai)\n\nB: $y=x^2-2x-2$ (bậc hai)\n\nBước 2: Xét chiều nhánh của đồ thị\nQuan sát hình:\nKhi $x \\to +\\infty$ thì $y \\to -\\infty$\n\n⇒ Hệ số của $x^3$ âm.\n\nBước 3: So sánh với các phương án bậc ba\nPhương án C: $y=-x^3+3x^2-2$ ✅ (hệ số $x^3$ âm)\n\nPhương án D: $y=x^3-3x^2-2$ ❌ (hệ số $x^3$ dương)\n\nBước 4: Kiểm tra nhanh tung độ tại trục $Oy$\nVới phương án C: $y(0)=-2$\n\nPhù hợp với đồ thị: điểm cắt trục tung nằm dưới trục hoành.\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{y=-x^3+3x^2-2}$\n👉 Chọn đáp án C. ✅","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-thi-thu-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-khoa-hoc-tu-nhien-truong-dai-hoc-khoa-hoc-tu-nhien-2026-lan-1-co-dap-an/1SHEkNEhokC5ABrMQGItUBoG-zMsTroHh_2026-02-03154939.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["đồ-thị-hàm-số","hàm-bậc-ba","nhận-dạng-đồ-thị"]},{"id":7,"text":"Trong khoảng $(0;2\\pi)$, phương trình $2\\sin x=1$ có bao nhiêu nghiệm?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$1$.","correct":false,"reason":"Sai vì phương trình $\\sin x = \\frac{1}{2}$ có hai nghiệm thuộc $(0; 2\\pi)$ là $x = \\frac{\\pi}{6}$ và $x = \\frac{5\\pi}{6}$, không chỉ có một nghiệm duy nhất."},{"label":"B","text":"$2$.","correct":true,"reason":"Đúng vì phương trình tương đương $\\sin x = \\frac{1}{2}$, và trong khoảng $(0; 2\\pi)$ có đúng hai giá trị $x = \\frac{\\pi}{6}$ và $x = \\frac{5\\pi}{6}$ thỏa mãn."},{"label":"C","text":"$3$.","correct":false,"reason":"Sai vì trên đường tròn lượng giác, trong một vòng quay $(0; 2\\pi)$ chỉ có hai cung ứng với $\\sin x = \\frac{1}{2}$, do đó không thể có ba nghiệm."},{"label":"D","text":"$4$.","correct":false,"reason":"Sai vì bốn nghiệm chỉ xuất hiện khi xét khoảng có độ dài $4\\pi$ hoặc phương trình $\\sin^2 x = \\frac{1}{4}$, chứ không phải trong $(0; 2\\pi)$ với $\\sin x = \\frac{1}{2}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $2\\sin x = 1$\n\nKhoảng xét nghiệm: $(0;2\\pi)$\n\nTừ phương trình suy ra: $\\sin x = \\dfrac{1}{2}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hỏi trong khoảng $(0;2\\pi)$ phương trình $2\\sin x=1$ có bao nhiêu nghiệm.\n\nKiến thức cần dùng: cách giải phương trình lượng giác cơ bản, công thức nghiệm tổng quát của $\\sin x = a$, và kiến thức về góc tham chiếu/trục đơn vị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia hai vế cho 2: $\\sin x=\\dfrac{1}{2}.$\n\nNghiệm tổng quát của $\\sin x=\\dfrac{1}{2}$ là\n$x=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi\\quad\\text{hoặc}\\quad x=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi,\\quad k\\in\\mathbb{Z}.$\n\nXét trong khoảng $(0;2\\pi)$, thử các giá trị của $k$:\nVới $k=0$: $x=\\dfrac{\\pi}{6}$ và $x=\\dfrac{5\\pi}{6}$ đều thuộc $(0;2\\pi)$.\n\nVới $k=1$: hai nghiệm đều lớn hơn $2\\pi$, không lấy.\n\nVới $k=-1$: hai nghiệm đều âm hoặc nhỏ hơn 0, không lấy.\n\nDo đó trong khoảng $(0;2\\pi)$ chỉ có đúng hai nghiệm: $x=\\dfrac{\\pi}{6}$ và $x=\\dfrac{5\\pi}{6}$.\n\nLưu ý: các điểm $0$ và $2\\pi$ bị loại vì khoảng là mở.\n\n✅ Đáp án: B. $2.$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"phương trình lượng giác cơ bản","bloomLevel":"understand","tags":["phương-trình-lượng-giác","sin","nghiệm","khoảng"]},{"id":8,"text":"Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): x-y-z+2=0$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$\\vec n=(1;-1;2)$.","correct":false,"reason":"Vectơ $\\vec{n}=(1;-1;2)$ sai vì thành phần theo $z$ là $2$ thay vì $-1$ (hệ số của $z$ trong phương trình mặt phẳng)."},{"label":"B","text":"$\\vec n=(-1;-1;2)$.","correct":false,"reason":"Vectơ $\\vec{n}=(-1;-1;2)$ không tỉ lệ với vectơ hệ số $(1;-1;-1)$ vì thành phần $y$ không thỏa mãn tỉ lệ thuận với thành phần $x$."},{"label":"C","text":"$\\vec n=(2;-1;-1)$.","correct":false,"reason":"Vectơ $\\vec{n}=(2;-1;-1)$ không tỉ lệ với $(1;-1;-1)$ vì $\\frac{2}{1} \\neq \\frac{-1}{-1}$, nên không phải vectơ pháp tuyến của $(P)$."},{"label":"D","text":"$\\vec n=(1;-1;-1)$.","correct":true,"reason":"Vectơ $\\vec{n}=(1;-1;-1)$ chính là vectơ hệ số $(a;b;c)$ trong phương trình tổng quát $ax+by+cz+d=0$ của mặt phẳng $(P)$, do đó là vectơ pháp tuyến đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt phẳng $(P): x - y - z + 2 = 0$ trong không gian $Oxyz$. \n\nXác định vectơ pháp tuyến.\n\nCác phương án (cho dưới dạng vectơ): \nA. $\\vec n=(1;-1;2)$; B. $\\vec n=(-1;-1;2)$; C. $\\vec n=(2;-1;-1)$; D. $\\vec n=(1;-1;-1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Vectơ nào trong các phương án là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$? \n\nCần áp dụng kiến thức: vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có phương trình dạng $ax+by+cz+d=0$ là $\\vec n=(a;b;c)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại quy tắc: Nếu mặt phẳng có phương trình $ax+by+cz+d=0$ thì vectơ pháp tuyến là $\\vec n=(a;b;c)$. \n\nÁp dụng vào phương trình $x - y - z + 2 = 0$ ta có hệ số: $a=1,\\; b=-1,\\; c=-1$. \n\nVậy vectơ pháp tuyến của (P) là $\\vec n=(1;-1;-1)$. \n\nSo sánh với các phương án: chỉ có phương án D cho vectơ $\\vec n=(1;-1;-1)$ đúng bằng kết quả trên; các phương án A, B, C đều khác.\n\n✅ Đáp án: D. $\\vec n=(1;-1;-1)$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","bloomLevel":"remember","tags":["vectơ-pháp-tuyến","mặt-phẳng","phương-trình-tổng-quát"]},{"id":9,"text":"Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+1)x^2(x-3)^3,\\ \\forall x\\in\\mathbb{R}$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$2$.","correct":true,"reason":"Đúng. Hàm số có đúng $2$ điểm cực trị tại $x=-1$ (cực đại) và $x=3$ (cực tiểu) vì $f'$ đổi dấu qua hai điểm này (bội số lẻ). Tại $x=0$, $f'$ không đổi dấu (bội số chẵn $2$) nên không phải điểm cực trị."},{"label":"B","text":"$3$.","correct":false,"reason":"Sai. Phương án này nhầm lẫn khi tính cả $x=0$ là điểm cực trị, nhưng thực tế tại đây $f'$ có bội số chẵn nên không đổi dấu, do đó $x=0$ chỉ là điểm tới hạn chứ không phải cực trị."},{"label":"C","text":"$1$.","correct":false,"reason":"Sai. Phương án này bỏ sót một điểm cực trị (chỉ tính một trong hai điểm $x=-1$ hoặc $x=3$) hoặc nhầm lẫn rằng chỉ có duy nhất một điểm thỏa mãn điều kiện đổi dấu."},{"label":"D","text":"$5$.","correct":false,"reason":"Sai. Phương án này có thể đã nhầm lẫn số điểm cực trị với tổng bội số của các nghiệm ($1+2+3=6$) hoặc đếm sai số nghiệm phân biệt của $f'(x)=0$ (thực tế chỉ có $3$ nghiệm $-1, 0, 3$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số có đạo hàm $f'(x)=(x+1)x^2(x-3)^3,\\ \\forall x\\in\\mathbb{R}.$\n\nTa cần xác định các điểm mà $f'(x)=0$ và kiểm tra dấu của $f'$ quanh các điểm đó.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu: hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?\n\nKiến thức cần dùng: tìm điểm tới hạn (nơi $f'(x)=0$), rồi kiểm tra sự đổi dấu của $f'$ để kết luận có cực tiểu/cực đại hay không.\n\nLưu ý quan trọng học sinh cần nhớ: nếu nghiệm của $f'$ có bội số chẵn thì thường không đổi dấu (không có cực trị), nếu bội số lẻ thì thường đổi dấu (có cực trị).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm nghiệm của $f'(x)=0$:\n$f'(x)=(x+1)x^2(x-3)^3=0 \\implies x=-1,\\; x=0,\\; x=3.$\n\nBội số: với $x=-1$ bội số 1 (lẻ); với $x=0$ bội số 2 (chẵn); với $x=3$ bội số 3 (lẻ).\n\nLập bảng dấu nhanh trên các khoảng phân bởi các nghiệm: chọn các khoảng $(-\\infty,-1),\\;(-1,0),\\;(0,3),\\;(3,\\infty).$\nVới $x<-1$: $x+1<0,\\;x^2>0,\\; (x-3)^3<0 \\Rightarrow f'(x)>0.$\n\nVới $-10,\\;x^2>0,\\;(x-3)^3<0 \\Rightarrow f'(x)<0.$\n\nVới $00,\\;x^2>0,\\;x-3<0$) nên $f'(x)<0.$\n\nVới $x>3$: tất cả dương $\\Rightarrow f'(x)>0.$\n\nKết luận dựa trên đổi dấu:\nTại $x=-1$: $f'$ đổi từ dương sang âm (tăng sang giảm) ⇒ có cực đại.\n\nTại $x=0$: $f'$ không đổi dấu (âm bên trái và bên phải) ⇒ không có điểm cực trị.\n\nTại $x=3$: $f'$ đổi từ âm sang dương (giảm sang tăng) ⇒ có cực tiểu.\n\nVậy hàm số có tổng cộng 2 điểm cực trị.\n\n✅ Đáp án: $A. 2.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["cực-trị","đạo-hàm","điểm-cực-trị","dấu-đạo-hàm"]},{"id":10,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3),\\ B(0;1;2),\\ C(1;3;1)$. Tam giác $ABC$ có diện tích bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$\\frac{\\sqrt3}{2}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì diện tích tam giác bằng nửa độ lớn tích có hướng: $S=\\frac{1}{2}\\sqrt{|\\vec{AB}|^2|\\vec{AC}|^2-(\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC})^2}=\\frac{1}{2}\\sqrt{28-25}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$."},{"label":"B","text":"$\\frac{3\\sqrt3}{2}$.","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm tích vô hướng (ví dụ lấy $(-1)\\cdot(-2)=-2$) khiến $\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC}=1$, dẫn đến $\\frac{1}{2}\\sqrt{28-1}=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$."},{"label":"C","text":"$\\sqrt3$.","correct":false,"reason":"Sai vì đây là độ lớn tích có hướng $|\\vec{AB}\\times\\vec{AC}|=\\sqrt{3}$ (diện tích hình bình hành), chưa nhân $\\frac{1}{2}$ để ra diện tích tam giác."},{"label":"D","text":"$\\frac{5}{2}$.","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn công thức, lấy $\\frac{|\\vec{AB}\\cdot\\vec{AC}|}{2}=\\frac{5}{2}$ thay vì $\\frac{1}{2}|\\vec{AB}\\times\\vec{AC}|$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(0;0;3)$, $B(0;1;2)$, $C(1;3;1)$ trong không gian $Oxyz$.\n\nYêu cầu: tính diện tích tam giác $ABC$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính diện tích tam giác tạo bởi ba điểm $A,B,C$ trong không gian.\n\nCần áp dụng kiến thức về vector trong không gian: vector cạnh, tích vô hướng, độ dài vector và quan hệ giữa tích có hướng (hoặc cách tính độ lớn của tích chéo) để tìm diện tích.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết các vector cạnh xuất phát từ $A$:\n$\\overrightarrow{AB}=B-A=(0-0,\\,1-0,\\,2-3)=(0,\\,1,\\,-1).$\n\n$\\overrightarrow{AC}=C-A=(1-0,\\,3-0,\\,1-3)=(1,\\,3,\\,-2).$\n\nDiện tích tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành spanned bởi $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{AC}$:\n$S_{\\triangle ABC}=\\tfrac{1}{2}\\,|\\overrightarrow{AB}\\times\\overrightarrow{AC}|.$\n\nTa tính độ lớn của tích chéo bằng công thức liên hệ giữa tích vô hướng và các độ dài:\n$|\\overrightarrow{AB}\\times\\overrightarrow{AC}|=\\sqrt{|\\overrightarrow{AB}|^2\\cdot|\\overrightarrow{AC}|^2-(\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC})^2}.$\n\nTính các đại lượng:\n$\\overrightarrow{AB}\\cdot\\overrightarrow{AC}=0\\cdot1+1\\cdot3+(-1)\\cdot(-2)=3+2=5.$\n\n$|\\overrightarrow{AB}|^2=0^2+1^2+(-1)^2=2.$\n\n$|\\overrightarrow{AC}|^2=1^2+3^2+(-2)^2=1+9+4=14.$\n\nThay vào công thức:\n$|\\overrightarrow{AB}\\times\\overrightarrow{AC}|=\\sqrt{2\\cdot14-5^2}=\\sqrt{28-25}=\\sqrt{3}.$\n\nDo đó diện tích tam giác:\n$S_{\\triangle ABC}=\\tfrac{1}{2}\\sqrt{3}=\\frac{\\sqrt3}{2}.$\n\n✅ Đáp án: A. $\\frac{\\sqrt3}{2}$.","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"understand","tags":["diện-tích-tam-giác","tích-có-hướng","vectơ","tọa-độ"]},{"id":11,"text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[-2;0]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$1$.","correct":true,"reason":"$f(0)=1$, đây không phải giá trị nhỏ nhất vì $f(-2)=-1 < 1$."},{"label":"B","text":"$-2$.","correct":false,"reason":"Hàm số không đạt giá trị $-2$ trên đoạn $[-2;0]$, các giá trị tính được là $-1, 3, 1$."},{"label":"C","text":"$-1$.","correct":false,"reason":"$f(-2)=-1$ là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị $f(-2)=-1$, $f(-1)=3$, $f(0)=1$."},{"label":"D","text":"$3$.","correct":false,"reason":"$f(-1)=3$ là giá trị lớn nhất trên đoạn, không phải nhỏ nhất."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $f(x)=x^3-3x+1.$\n\nĐoạn xét: $[-2;0].$\n\nYêu cầu: tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn đã cho.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số trên một đoạn kín. \n\nCần áp dụng kiến thức: đạo hàm để tìm điểm tới hạn và đánh giá giá trị hàm tại các điểm tới hạn nằm trong đoạn cũng như tại các mút của đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$\n\nTìm điểm tới hạn bằng cách giải $f'(x)=0$: ta có $x=-1$ và $x=1.$ \nTrên đoạn $[-2,0]$ chỉ có $x=-1$ là nằm trong đoạn; $x=1$ không nằm trong đoạn.\n\nĐánh giá giá trị hàm tại các điểm cần xét (các điểm tới hạn trong đoạn và các đầu mút):\n$f(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1.$\n\n$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3.$\n\n$f(0)=0^3-3\\cdot0+1=1.$\n\nSo sánh các giá trị: $f(-2)=-1,\\; f(-1)=3,\\; f(0)=1.$ Giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị này là $-1$ ở $x=-2.$\n\n✅ Đáp án: $C. -1.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["giá-trị-nhỏ-nhất","đoạn","đạo-hàm","hàm-số"]},{"id":12,"text":"Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\\log_a b=3,\\ \\log_a c=-2$. Giá trị của $\\log_a\\left(\\frac{a^3b^2}{c}\\right)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf4","options":[{"label":"A","text":"$14$.","correct":false,"reason":"Sai do áp dụng nhầm quy tắc luỹ thừa, tính $\\log_a(b^2) = (\\log_a b)^2 = 9$ thay vì $2\\log_a b = 6$, dẫn đến kết quả $3 + 9 - (-2) = 14$."},{"label":"B","text":"$11$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng đúng quy tắc logarit: $\\log_a\\left(\\frac{a^3b^2}{c}\\right) = \\log_a(a^3) + \\log_a(b^2) - \\log_a(c) = 3 + 2\\cdot 3 - (-2) = 11$."},{"label":"C","text":"$7$.","correct":false,"reason":"Sai do quên đổi dấu khi trừ số âm, tính $3 + 6 - 2 = 7$ thay vì $3 + 6 - (-2) = 11$, hoặc nhầm giá trị $\\log_a c = 2$."},{"label":"D","text":"$20$.","correct":false,"reason":"Sai do nhầm quy tắc cộng logarit thành nhân, tính $\\log_a(a^3) \\cdot \\log_a(b^2) - \\log_a(c) = 3 \\cdot 6 - (-2) = 20$ thay vì phải cộng các hạng tử."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác số thực dương $a,b,c$.\n\n$\\log_a b = 3.$\n\n$\\log_a c = -2.$\n\nYêu cầu tính $\\log_a\\left(\\dfrac{a^3 b^2}{c}\\right).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị của một biểu thức logarit dựa trên các giá trị logarit đã cho.\n\nCần vận dụng các kiến thức:\nQuy tắc logarit: $\\log_a(xy)=\\log_a x+\\log_a y$ và $\\log_a\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)=\\log_a x-\\log_a y.$\n\nQuy tắc mũ trong logarit: $\\log_a(x^k)=k\\log_a x$ và đặc biệt $\\log_a(a^k)=k.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBắt đầu từ biểu thức cần tính: $\\log_a\\left(\\dfrac{a^3 b^2}{c}\\right).$\n\nÁp dụng quy tắc của logarit cho thương và tích:\n$\\log_a\\left(\\dfrac{a^3 b^2}{c}\\right)=\\log_a(a^3)+\\log_a(b^2)-\\log_a(c).$\n\nSử dụng các quy tắc mũ trong logarit:\n$\\log_a(a^3)=3.$\n\n$\\log_a(b^2)=2\\log_a b=2\\cdot 3=6.$ (vì $\\log_a b=3$)\n\n$\\log_a(c)=-2.$ (đã cho)\n\nThay vào và tính: $\\log_a\\left(\\dfrac{a^3 b^2}{c}\\right)=3+6-(-2)=3+6+2=11.$\n\nLưu ý điều kiện: a, b, c dương nên các logarit đều xác định.\n\n✅ Đáp án: $\\text{B. }11.$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"lôgarit","bloomLevel":"remember","tags":["lôgarit","tính-chất-lôgarit","biến-đổi-lôgarit"]},{"id":13,"text":"Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận $P(t)$ (đơn vị: tỷ đồng) sau $t$ tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số: $P(t)=-t^3+12t^2+60t-50,\\ 0\\le t\\le 12.$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf5","statements":[{"label":"A","text":"Lợi nhuận của công ty tại thời điểm $t=2$ là $110$ tỷ đồng.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm lợi nhuận: $P(t)=-t^3+12t^2+60t-50$ (đơn vị: tỷ đồng).\n\nThời gian: $0\\le t\\le 12$ (tháng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (a) khẳng định: lợi nhuận tại thời điểm $t=2$ là $110$ tỷ đồng.\n\nCần tính giá trị của hàm $P(t)$ tại $t=2$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết công thức và thay $t=2$: $P(2)=-2^3+12\\cdot2^2+60\\cdot2-50.$ \n\nTính từng bước: $-2^3=-8,$ $12\\cdot2^2=12\\cdot4=48,$ $60\\cdot2=120.$ \n\nCộng lại: $P(2)=-8+48+120-50=110.$ \n\nKết quả cho thấy giá trị tính được trùng khớp với khẳng định trong đề.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Hàm số biểu thị tốc độ tăng trưởng lợi nhuận $P'(t)=-3t^2+24t+10$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm lợi nhuận: $P(t)=-t^3+12t^2+60t-50$.\n\nThời gian: $0\\le t\\le 12$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (b) khẳng định: đạo hàm (tốc độ tăng trưởng lợi nhuận) là $P'(t)=-3t^2+24t+10$.\n\nCần tìm đạo hàm đúng của hàm đa thức và so sánh với khẳng định.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nLấy đạo hàm của $P(t)$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức:\nĐạo hàm của $-t^3$ là $-3t^2$.\n\nĐạo hàm của $12t^2$ là $24t$.\n\nĐạo hàm của $60t$ là $60$.\n\nĐạo hàm của $-50$ là $0$.\n\nDo đó: $P'(t)=-3t^2+24t+60.$ \n\nSo sánh với khẳng định: đề cho $-3t^2+24t+10$, nhưng hệ số tự do phải là $60$, không phải $10$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm $t=10$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm lợi nhuận: $P(t)=-t^3+12t^2+60t-50$, với $0\\le t\\le 12$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (c) khẳng định: lợi nhuận đạt mức tối đa tại $t=10$.\n\nCần tìm các điểm tới hạn (giải $P'(t)=0$) và so sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn để xác định cực đại toàn cục trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: $P'(t)=-3t^2+24t+60.$ \n\nGiải phương trình $P'(t)=0$:\n$-3t^2+24t+60=0\\Rightarrow t^2-8t-20=0.$ \nGiải: $t=\\frac{8\\pm\\sqrt{64+80}}{2}=\\frac{8\\pm\\sqrt{144}}{2}=\\frac{8\\pm12}{2}.$ \nTa có hai nghiệm $t=10$ và $t=-2$. Chỉ $t=10$ nằm trong đoạn $[0,12]$.\n\nKiểm tra giá trị tại các điểm quan trọng:\n$P(0)=-50$.\n\n$P(10)=-10^3+12\\cdot10^2+60\\cdot10-50=-1000+1200+600-50=750.$\n\n$P(12)=-12^3+12\\cdot12^2+60\\cdot12-50=-1728+1728+720-50=670.$\n\nSo sánh: $750>670> -50$, nên giá trị lớn nhất trên đoạn đạt tại $t=10$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Tại thời điểm $t=4$ thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm lợi nhuận: $P(t)=-t^3+12t^2+60t-50$ và đạo hàm đã tính là $P'(t)=-3t^2+24t+60$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (d) khẳng định: tại thời điểm $t=4$ thì tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là lớn nhất.\n\nCần tìm điểm mà $P'(t)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[0,12]$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm $P'(t)=-3t^2+24t+60$ là một đa thức bậc hai có hệ số điều khiển là $-3<0$, nên là parabol lõm xuống. Vì vậy nó có một đỉnh (điểm cực đại) tại\n$t_{\\text{đỉnh}}=\\frac{-b}{2a}=\\frac{-24}{2\\cdot(-3)}=4.$ \n\nVì $t=4$ nằm trong đoạn $[0,12]$, đó là điểm mà $P'(t)$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn.\n\n(Nếu cần, có thể tính giá trị lớn nhất: $P'(4)=-3\\cdot4^2+24\\cdot4+60=-48+96+60=108$.)\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"apply","tags":["tối-ưu-hóa","lợi-nhuận","đạo-hàm","bài-toán-thực-tế","tốc-độ-tăng-trưởng"]},{"id":14,"text":"Cho hàm số $f(x)=\\log_2(x^2-4x+8).$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf5","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\\mathbb{R}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_2\\big(x^2-4x+8\\big).$\n\nYêu cầu kiểm tra tính đúng/sai của phát biểu: a) Tập xác định là $\\mathbb{R}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi a) hỏi về tập xác định của hàm logarit. Cần biết điều kiện để biểu thức logarit xác định: biểu thức bên trong phải dương.\n\nTa cần xét bất phương trình $x^2-4x+8>0$ để tìm tập xác định.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét hàm trong log: $u(x)=x^2-4x+8$.\n\nTính biệt thức của đa thức bậc hai: $\\Delta = (-4)^2-4\\cdot1\\cdot8=16-32=-16<0.$\n\nVì hệ số của $x^2$ bằng 1 dương và $\\Delta<0$ nên đa thức luôn dương với mọi $x\\in\\mathbb{R}$.\n\nDo đó điều kiện $x^2-4x+8>0$ đúng với mọi số thực, nghĩa là hàm log xác định với mọi $x\\in\\mathbb{R}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Đạo hàm $f'(x)=\\dfrac{2x-4}{x^2-4x+8}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_2\\big(x^2-4x+8\\big).$\n\nPhát biểu b) cho công thức đạo hàm: $f'(x)=\\dfrac{2x-4}{x^2-4x+8}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi b) yêu cầu kiểm tra công thức đạo hàm của hàm logarit cơ sở 2.\n\nCần vận dụng quy tắc đạo hàm của hàm logarit: nếu $f(x)=\\log_a u(x)$ thì $f'(x)=\\dfrac{u'(x)}{u(x)\\ln a}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $u(x)=x^2-4x+8\\Rightarrow u'(x)=2x-4$.\n\nÁp dụng công thức đạo hàm cho $\\log_2 u(x)$:\n$f'(x)=\\dfrac{u'(x)}{u(x)\\ln 2}=\\dfrac{2x-4}{\\big(x^2-4x+8\\big)\\ln 2}.$ \n\nPhát biểu đã cho thiếu nhân tử $\\ln2$ ở mẫu; biểu thức đúng phải có mẫu là $\\big(x^2-4x+8\\big)\\ln2$ chứ không phải chỉ $x^2-4x+8$.\n\nVí dụ kiểm tra nhanh: với một giá trị cụ thể (ví dụ $x=2$) ta có $u'(2)=0$ nên $f'(2)=0$. Công thức cho trong đề cũng cho 0 tại $x=2$, nhưng nói chung hệ số $\\ln2$ không thể bỏ được khi so sánh các giá trị khác.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $\\mathbb{R}$ bằng $1$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_2\\big(x^2-4x+8\\big).$\n\nPhát biểu c) cho rằng giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\\mathbb{R}$ bằng $1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên toàn bộ $\\mathbb{R}$.\n\nVì hàm log cơ số 2 là hàm đồng biến, giá trị nhỏ nhất của $f$ tương ứng với giá trị nhỏ nhất của biểu thức bên trong log là $x^2-4x+8$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm min của $u(x)=x^2-4x+8$: đỉnh của parabol tại $x=\\dfrac{4}{2}=2$.\n\nGiá trị nhỏ nhất: $u(2)=2^2-4\\cdot2+8=4-8+8=4$.\n\nDo đó $\\min f(x)=\\log_2(4)=\\log_2(2^2)=2$.\n\nPhát biểu cho rằng min bằng 1 là không đúng (thực tế bằng 2).\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Phương trình $f(x)=2025$ có đúng hai nghiệm.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=\\log_2\\big(x^2-4x+8\\big).$\n\nPhát biểu d) cho rằng phương trình $f(x)=2025$ có đúng hai nghiệm.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xét phương trình $\\log_2\\big(x^2-4x+8\\big)=2025$ và kiểm tra số nghiệm thực.\n\nDùng tính chất logarit: phương trình tương đương với $x^2-4x+8=2^{2025}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại phương trình: $x^2-4x+8=2^{2025} \\Longrightarrow x^2-4x+(8-2^{2025})=0.$ \n\nTính biệt thức của phương trình bậc hai này:\n$\\Delta'=(-4)^2-4\\cdot1\\cdot(8-2^{2025})=16-32+4\\cdot2^{2025}=4\\big(2^{2025}-4\\big).$\n\nVì $2^{2025}\\gg4$ nên $\\Delta'>0$, do đó phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt.\n\nKiểm tra điều kiện: vì mọi giá trị của $x$ đều thuộc tập xác định nên cả hai nghiệm đều hợp lệ cho phương trình ban đầu.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi.","bloomLevel":"apply","tags":["hàm-số-lôgarit","tập-xác-định","đạo-hàm","giá-trị-nhỏ-nhất","phương-trình-lôgarit"]},{"id":15,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf5","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số đã cho là $D=(1;+\\infty)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (a) khẳng định: Tập xác định của hàm số là $D=(1;+\\infty)$.\n\nCần áp dụng kiến thức: tập xác định của hàm hữu tỉ (mẫu khác 0).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là $x-1\\neq0\\Rightarrow x\\neq1$.\n\nDo đó tập xác định là $\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}$, không phải chỉ nửa khoảng $(1;+\\infty)$.\n\nVí dụ phản biện: chọn $x=0$ thì hàm số xác định và $0\\notin(1;+\\infty)$, nên khẳng định ban đầu sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}$, tập xác định $\\mathbb{R}\\setminus\\{1\\}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (b) khẳng định: Hàm số có đúng hai điểm cực trị.\n\nCần dùng: đạo hàm để tìm điểm tới hạn và kiểm tra dấu để xác định cực trị.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức: $\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}=2x+1+\\dfrac{3}{x-1}.$\n\nLấy đạo hàm: $y'=2-\\dfrac{3}{(x-1)^2}.$\n\nGiải $y'=0\\Rightarrow 2-\\dfrac{3}{(x-1)^2}=0\\Rightarrow (x-1)^2=\\dfrac{3}{2}.$\n\nTa có hai nghiệm phân biệt: $x=1\\pm\\sqrt{\\dfrac{3}{2}}$ (cả hai khác 1 nên hợp lệ). Vậy có hai điểm tới hạn.\n\nKiểm tra dấu của $y''$: $y''=\\dfrac{6}{(x-1)^3}$ nên một nghiệm cho $y''<0$ (cực đại) và nghiệm kia cho $y''>0$ (cực tiểu). Do đó đúng là có đúng hai điểm cực trị.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là $y=2x+1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}=2x+1+\\dfrac{3}{x-1}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (c) khẳng định: Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là $y=2x+1$.\n\nCần biết: khi phân chia đa thức, phần đa thức bậc 1 là tiệm cận xiên, phần dư chia cho $x-1$ cho phần sai số nhỏ khi $x\\to\\pm\\infty$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThực hiện phép chia: $\\dfrac{2x^2-x+2}{x-1}=2x+1+\\dfrac{3}{x-1}.$\n\nKhi $x\\to\\pm\\infty$ thì $\\dfrac{3}{x-1}\\to0$, nên đồ thị tiến tới đường thẳng $y=2x+1$.\n\nVậy $y=2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Xét điểm $A\\in (C)$, tổng khoảng cách từ $A$ đến hai đường tiệm cận của $(C)$ luôn lớn hơn $2,3$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=2x+1+\\dfrac{3}{x-1}$ có hai đường tiệm cận: đường thẳng xiên $y=2x+1$ và đường thẳng đứng $x=1$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu (d) khẳng định: Với mọi điểm $A\\in(C)$, tổng khoảng cách từ $A$ đến hai đường tiệm cận luôn lớn hơn $2,3$.\n\nCần biết công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: với điểm $(x,y)$ và đường $ax+by+c=0$, khoảng cách là $\\dfrac{|ax+by+c|}{\\sqrt{a^2+b^2}}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi điểm $A(x, y)\\in(C)$, tức $y=2x+1+\\dfrac{3}{x-1}$ và $x\\neq1$.\n\nKhoảng cách đến đường đứng $x=1$ là $d_1=|x-1|.$\n\nViết phương trình đường xiên dưới dạng $2x-y+1=0$, khoảng cách đến đường xiên là\n$d_2=\\dfrac{|2x-y+1|}{\\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\\dfrac{|-\\dfrac{3}{x-1}|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{3}{\\sqrt{5}\\,|x-1|}.$\n\nTổng khoảng cách là\n$S= d_1+d_2=|x-1|+\\dfrac{3}{\\sqrt{5}\\,|x-1|}.$\n\nĐặt $t=|x-1|>0$, ta có\n$S(t)=t+\\dfrac{3}{\\sqrt{5}\\,t}.$\n\nDùng bất đẳng thức AM-GM: $t+\\dfrac{3}{\\sqrt{5}\\,t}\\ge 2\\sqrt{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}=2\\sqrt{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}.$\n\nTính giá trị tối thiểu xấp xỉ: $2\\sqrt{\\dfrac{3}{\\sqrt{5}}}\\approx2{.}316>2{.}3.$\n\nDo đó với mọi $t>0$ (tương đương mọi $A\\in(C)$) ta luôn có $S(t)>2{.}3$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"apply","tags":["hàm-phân-thức","cực-trị","tiệm-cận","khoảng-cách","đồ-thị"]},{"id":16,"text":"Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục tọa độ là km). Một trạm phát sóng được đặt tại vị trí $A(0,1,3)$ và có vùng phủ sóng là hình cầu bán kính $5$ km. Một con đường thẳng được mô hình hóa bởi đường thẳng: $d:\\ \\frac{x-1}{1}=\\frac{y}{-1}=\\frac{z}{2}.$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf5","statements":[{"label":"A","text":"Vectơ $\\vec u=(1;1;2)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHệ tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị mỗi trục là km).\n\nĐiểm trạm phát sóng $A(0,1,3)$, vùng phủ là hình cầu bán kính $5\\ \\text{km}$.\n\nĐường thẳng $d:\\ \\frac{x-1}{1}=\\frac{y}{-1}=\\frac{z}{2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu a) hỏi: liệu vectơ $\\vec u=(1;1;2)$ có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ hay không?\n\nCần áp dụng khái niệm: từ dạng đối xứng của đường thẳng $\\frac{x-x_0}{a}=\\frac{y-y_0}{b}=\\frac{z-z_0}{c}$, vectơ chỉ phương có tọa độ $(a,b,c)$ (hoặc một bội vô hướng của nó).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết dạng tham số của $d$: đặt tham số $t$ sao cho $\\frac{x-1}{1}=t$, ta có\n$x=1+t,\\quad y=-t,\\quad z=2t.$ \n\nTừ đó vectơ chỉ phương của $d$ là $\\vec v=(1,-1,2)$ (hoặc mọi vectơ tỉ lệ với $\\vec v$).\n\nSo sánh với đề: $\\vec u=(1,1,2)\\ \\text{khác với}\\ \\vec v=(1,-1,2)\\ ($thành phần thứ hai trái dấu$).$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Mặt cầu tâm $A(0;1;3)$, bán kính $R=5$ có phương trình là $x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=25$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTâm hình cầu là $A(0,1,3)$ và bán kính $R=5$.\n\nCông thức phương trình mặt cầu tâm $(x_0,y_0,z_0)$ bán kính $R$: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu b) yêu cầu kiểm tra phương trình của mặt cầu có tâm $A(0,1,3)$ và bán kính $5$.\n\nCần áp dụng công thức phương trình mặt cầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $x_0=0,\\ y_0=1,\\ z_0=3,\\ R=5$ vào công thức:\n$(x-0)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=5^2.$\n\nSuy ra phương trình:\n$x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=25.$\n\nKiểm tra lại: đúng theo công thức chuẩn của mặt cầu.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Điểm $H$ có hoành độ bằng $-\\frac{2}{3}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(0,1,3)$ và đường thẳng $d:\\ x=1+t,\\ y=-t,\\ z=2t\\ (t\\in\\mathbb{R}).$\n\nGọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$ (điểm trên $d$ sao cho $\\overrightarrow{AH}\\perp d$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu c) khẳng định hoành độ (tức thành phần $x$) của điểm $H$ bằng $-\\frac{2}{3}$.\n\nCần dùng phép chiếu vuông góc: nếu $H$ tương ứng tham số $t_H$ thì vectơ $\\overrightarrow{AH}$ phải vuông góc với vectơ chỉ phương $\\vec v=(1,-1,2)$ của d.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi tham số của điểm trên d là $t$, điểm trên d là\n$P(t)=(1+t,-t,2t).$\n\nVectơ $\\overrightarrow{AP(t)}=(-1-t,1+t,3-2t).$\n\nĐiều kiện vuông góc với $\\vec v=(1,-1,2)$: \n$\\overrightarrow{AP(t)}\\cdot\\vec v=0.$ \n\nTính tích vô hướng:\n$(-1-t)\\cdot1+(1+t)\\cdot(-1)+(3-2t)\\cdot2=0.$ \nRút gọn: $-1-t-1-t+6-4t=0\\Rightarrow 4-6t=0\\Rightarrow t=\\frac{2}{3}.$\n\nKhi $t=\\frac{2}{3}$, hoành độ của $H$ là\n$x_H=1+t=1+\\frac{2}{3}=\\frac{5}{3},$\nkhông phải $-\\frac{2}{3}$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng dài $8,16$ km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình cầu tâm $A(0,1,3)$ bán kính $5$: $x^2+(y-1)^2+(z-3)^2=25.$\n\nĐường thẳng $d$ tham số: $x=1+t,\\ y=-t,\\ z=2t$ với vectơ chỉ phương $\\vec v=(1,-1,2)$ và $||\\vec v||=\\sqrt6.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu d) hỏi: độ dài đoạn đường (trên d) nằm trong vùng phủ sóng (tức khoảng giao giữa d và hình cầu) là $8,16\\ \\text{km}$ (làm tròn đến hàng phần trăm) hay không?\n\nCần tìm hai điểm giao của d với mặt cầu, rồi tính khoảng cách giữa chúng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay tham số của d vào phương trình mặt cầu:\n$(1+t)^2+(-t-1)^2+(2t-3)^2=25.$\n\nKhai triển và rút gọn:\n$6t^2-8t+11=25\\Rightarrow 6t^2-8t-14=0\\Rightarrow 3t^2-4t-7=0.$\n\nTính biệt thức: $\\Delta=(-4)^2-4\\cdot3\\cdot(-7)=16+84=100.$\n\nNghiệm:\n$t=\\frac{4\\pm10}{6}\\Rightarrow t_1=\\frac{7}{3},\\ t_2=-1.$\n\nKhoảng cách giữa hai điểm giao trên d bằng\n$|t_1-t_2|\\cdot||\\vec v||=\\left|\\frac{7}{3}-(-1)\\right|\\sqrt6=\\frac{10}{3}\\sqrt6.$\n\nTính gần đúng: $\\frac{10}{3}\\sqrt6\\approx3.333333\\times2.449489\\approx8.1649658\\approx8.16\\ \\text{(làm tròn đến hàng phần trăm)}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","bloomLevel":"apply","tags":["mặt-cầu","đường-thẳng","hình-chiếu","khoảng-cách","vùng-phủ-sóng","bài-toán-thực-tế"]},{"id":17,"text":"Một công ty thực phẩm muốn tạo ra một loại thức ăn hỗn hợp cho vật nuôi từ hai nguyên liệu chính là ngô và đậu nành. Biết rằng 1 kg ngô chứa 0,1 kg protein và 0,6 kg carbohydrate; 1 kg đậu nành chứa 0,4 kg protein và 0,3 kg carbohydrate. Công ty cần sản xuất một bao thức ăn hỗn hợp sao cho tổng khối lượng ngô và đậu nành không vượt quá 100 kg, đồng thời phải đảm bảo chứa ít nhất 20 kg protein và ít nhất 46,5 kg carbohydrate. Giá thành mỗi kg ngô là 5 nghìn đồng và mỗi kg đậu nành là 9 nghìn đồng. Hỏi chi phí sản xuất một bao thức ăn của công ty thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"615","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n1 kg ngô chứa 0,1 kg protein và 0,6 kg carbohydrate.\n\n1 kg đậu nành chứa 0,4 kg protein và 0,3 kg carbohydrate.\n\nTổng khối lượng ngô và đậu nành không vượt quá 100 kg.\n\nCần ít nhất 20 kg protein và ít nhất 46,5 kg carbohydrate.\n\nGiá mỗi kg ngô là 5 (nghìn đồng), mỗi kg đậu nành là 9 (nghìn đồng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm chi phí nhỏ nhất (tính bằng nghìn đồng) để sản xuất một bao thức ăn thỏa các ràng buộc.\n\nCần sử dụng kiến thức về bài toán tối ưu tuyến tính (hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc tuyến tính) và kiểm tra các đỉnh của miền khả thi.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi x = khối lượng (kg) ngô, y = khối lượng (kg) đậu nành.\n\nViết các ràng buộc bằng biểu thức toán:\nTổng khối lượng: $x + y \\le 100$\n\nProtein: $0{,}1x + 0{,}4y \\ge 20 \\quad\\text{(tương đương }x + 4y \\ge 200\\text{)}$\n\nCarbohydrate: $0{,}6x + 0{,}3y \\ge 46{,}5 \\quad\\text{(tương đương }2x + y \\ge 155\\text{)}$\n\nKhông âm: $x \\ge 0,\\; y \\ge 0.$\n\nHàm chi phí cần tối thiểu hóa (đơn vị: nghìn đồng): $C = 5x + 9y.$\n\nMiền khả thi là giao của các nửa-mặt phẳng; giá trị cực tiểu của hàm tuyến tính xảy ra ở một đỉnh của miền khả thi. Xét các giao của các đường ràng buộc:\nGiao $x+y=100$ và $x+4y=200$: giải hệ\n$x=100-y$ thay vào $100-y+4y=200 \\Rightarrow 3y=100 \\Rightarrow y=\\tfrac{100}{3},\\; x=\\tfrac{200}{3}.$\n\nĐiểm: $\\left(\\tfrac{200}{3},\\tfrac{100}{3}\\right)\\approx(66{,}67;\\,33{,}33)$.\n\nGiao $x+y=100$ và $2x+y=155$: giải\n$x=100-y$ thay vào $2(100-y)+y=155 \\Rightarrow y=45,\\; x=55.$\n\nĐiểm: $(55,45)$.\n\nGiao $x+4y=200$ và $2x+y=155$: giải\nTừ $2x+y=155 \\Rightarrow x=\\tfrac{155-y}{2}$, thay vào $\\tfrac{155-y}{2}+4y=200$ ta được $y=35,\\; x=60.$\n\nĐiểm: $(60,35)$.\n\nTính chi phí tại các đỉnh:\nTại $\\left(\\tfrac{200}{3},\\tfrac{100}{3}\\right)$: $C=5\\cdot\\tfrac{200}{3}+9\\cdot\\tfrac{100}{3}=\\tfrac{1900}{3}\\approx633{,}33.$\n\nTại $(55,45)$: $C=5\\cdot55+9\\cdot45=275+405=680.$\n\nTại $(60,35)$: $C=5\\cdot60+9\\cdot35=300+315=615.$\n\nSo sánh khả thi cho thấy giá trị nhỏ nhất là $615$ (nghìn đồng) tại $(x,y)=(60,35)$.\n\n✅ Đáp án: 615 nghìn đồng","chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩn","tối-ưu-hóa","bài-toán-thực-tế","hệ-bất-phương-trình","chi-phí"]},{"id":18,"text":"Cường độ một trận động đất $M$ độ Richter được cho bởi công thức $M = \\log A - \\log A_0$trong đó $A$ là biên độ rung chấn tối đa và $A_0$ là một biên độ chuẩn (hằng số).\nNgày 11/3/2011, một trận siêu động đất xảy ra tại vùng Tohoku, Nhật Bản có cường độ $9{,}1$ độ Richter. Trước đó, vào ngày 21/5/2003, một trận động đất khác ở phía Bắc Algeria có cường độ $6{,}8$ độ Richter.\nHỏi biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở vùng Tohoku, Nhật Bản gấp bao nhiêu lần biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở phía Bắc Algeria? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"200","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCông thức cường độ Richter: $M=\\log A-\\log A_0=\\log\\frac{A}{A_0}.$\n\nCường độ trận Tohoku (Nhật Bản): $M_1=9{,}1.$\n\nCường độ trận Bắc Algeria: $M_2=6{,}8.$\n\nYêu cầu: Tìm tỉ số $\\dfrac{A_1}{A_2}$ (biên độ Tohoku so với biên độ Algeria), làm tròn đến hàng đơn vị.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính tỉ số biên độ rung chấn tối đa giữa hai trận động đất: $\\dfrac{A_{Tohoku}}{A_{Algeria}}.$\n\nCần sử dụng tính chất logarit và công thức Richter để chuyển hiệu độ Richter thành tỉ số biên độ: nếu $M=\\log\\frac{A}{A_0}$ thì hiệu hai cường độ cho biết $\\log\\frac{A_1}{A_2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Viết biểu thức cho mỗi trận theo công thức đã cho:\n$M_1=\\log\\frac{A_1}{A_0},\\quad M_2=\\log\\frac{A_2}{A_0}.$\n\nBước 2: Lấy hiệu hai biểu thức:\n$M_1-M_2=\\log\\frac{A_1}{A_0}-\\log\\frac{A_2}{A_0}=\\log\\frac{A_1}{A_2}.$\n\nBước 3: Suy ra tỉ số biên độ:\n$\\frac{A_1}{A_2}=10^{\\,M_1-M_2}.$\n\nBước 4: Thay số: $M_1-M_2=9{,}1-6{,}8=2{,}3.$\nDo đó $\\frac{A_1}{A_2}=10^{2{,}3}=10^2\\cdot10^{0{,}3}=100\\cdot10^{0{,}3}.$\n\nBước 5: Sử dụng xấp xỉ $10^{0{,}3}\\approx 2{,}0\\quad(\\text{vì }\\log_{10}2\\approx0{,}3010).$\nVậy $\\frac{A_1}{A_2}\\approx100\\cdot2{,}0\\approx200.$\n\nBước 6: Làm tròn đến hàng đơn vị: kết quả là 200.\n\n✅ Đáp án: 200","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"lôgarit","bloomLevel":"apply","tags":["lôgarit","độ-richter","biên-độ","bài-toán-thực-tế","cường-độ-động-đất"]},{"id":19,"text":"Một nhà máy sản xuất và bán (x) sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi công thức $C = 10000 + 600x - 0{,}6x^2 + 0{,}004x^3$(nghìn đồng). Biết rằng giá bán của mỗi sản phẩm là $p = 1800 - 6x$(nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nNhà máy sản xuất và bán x sản phẩm mỗi tháng.\n\nHàm chi phí (nghìn đồng): $C(x)=10000+600x-0{,}6x^2+0{,}004x^3.$\n\nGiá bán mỗi sản phẩm (nghìn đồng): $p(x)=1800-6x.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm số sản phẩm x để lợi nhuận hàng tháng của nhà máy là lớn nhất.\n\nCần áp dụng các khái niệm: doanh thu, lợi nhuận, và dùng đạo hàm để tìm cực trị của hàm lợi nhuận.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính doanh thu: $R(x)=x\\cdot p(x)=x(1800-6x)=1800x-6x^2.$\n\nViết hàm lợi nhuận (nghìn đồng): \n$\\Pi(x)=R(x)-C(x)=\\big(1800x-6x^2\\big)-\\big(10000+600x-0{,}6x^2+0{,}004x^3\\big).$\nRút gọn: $\\Pi(x)=-0{,}004x^3-5{,}4x^2+1200x-10000.$\n\nTìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:\n$\\Pi'(x)=-0{,}012x^2-10{,}8x+1200=0.$\nNhân cả hai vế với -1 rồi 1000 để loại thập phân:\n$0{,}012x^2+10{,}8x-1200=0\\quad\\Longrightarrow\\quad 12x^2+10800x-1200000=0.$\nChia cho 12: $x^2+900x-100000=0.$\nGiải phương trình: $x=\\frac{-900\\pm\\sqrt{900^2+4\\cdot100000}}{2}=\\frac{-900\\pm1100}{2}.$\nTa có hai nghiệm: $x=100\\quad\\text{và}\\quad x=-1000\\ (\\text{loại}).$\n\nKiểm tra là cực đại: $\\Pi''(x)=-0{,}024x-10{,}8\\Rightarrow \\Pi''(100)=-13{,}2<0,$ nên $x=100$ là điểm cho lợi nhuận cực đại.\n\n✅ Đáp án: 100 sản phẩm","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","bloomLevel":"apply","tags":["tối-ưu-hóa","lợi-nhuận","đạo-hàm","bài-toán-thực-tế","sản-xuất"]},{"id":20,"text":"Trong không gian $(Oxyz)$, cho điểm $A(1;1;-1)$ và đường thẳng$d:\\ \\frac{x-4}{2}=\\frac{y-4}{2}=\\frac{z-2}{-1}.$ Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $(A)$ trên đường thẳng $(d)$. Tính tổng $a+b+c$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"7","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(1;1;-1)$.\n\nĐường thẳng $d:\\ \\frac{x-4}{2}=\\frac{y-4}{2}=\\frac{z-2}{-1}$ (tức là điểm thuộc đường thẳng có thể lấy $P_0(4;4;2)$ và véc-tơ chỉ phương $\\mathbf{v}=(2;2,-1)$).\n\nGọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của A trên d; yêu cầu tính tổng $a+b+c$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm toạ độ của hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ và rồi tính tổng $a+b+c$.\n\nCần áp dụng khái niệm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng (chiếu vuông góc) và công thức dùng tích vô hướng để tìm tham số trên tham số hoá đường thẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết dạng tham số của đường thẳng từ biểu thức đối xứng:\n$\\text{Gọi }t\\text{ là tham số: }x=4+2t,\\ y=4+2t,\\ z=2-t.$\nVậy một điểm trên d là $P_0(4,4,2)$ và véc-tơ chỉ phương $\\mathbf{v}=(2,2,-1)$.\n\nGọi $t_0$ tham số sao cho $H=P_0+t_0\\mathbf{v}$. Ta có công thức tìm $t_0$ bằng chiếu véc-tơ $\\overrightarrow{AP_0}$ lên $\\mathbf{v}$:\n$t_0=\\frac{\\mathbf{v}\\cdot(\\mathbf{A}-\\mathbf{P_0})}{\\mathbf{v}\\cdot\\mathbf{v}}.$\n\nTính các véc-tơ và tích vô hướng:\n$\\mathbf{A}-\\mathbf{P_0}=(1-4,\\;1-4,\\;-1-2)=(-3,-3,-3),$\n$\\mathbf{v}\\cdot(\\mathbf{A}-\\mathbf{P_0})=2(-3)+2(-3)+(-1)(-3)=-6-6+3=-9,$\n$\\mathbf{v}\\cdot\\mathbf{v}=2^2+2^2+(-1)^2=4+4+1=9.$\n\nSuy ra $t_0=\\frac{-9}{9}=-1.$\n\nTọa độ của $H$:\n$H=P_0+t_0\\mathbf{v}=(4,4,2)-1\\cdot(2,2,-1)=(2,2,3).$\n\nVậy tổng: $a+b+c=2+2+3=7.$\n\n✅ Đáp án: 7","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình đường thẳng trong không gian","bloomLevel":"apply","tags":["hình-chiếu-vuông-góc","đường-thẳng","tọa-độ","tham-số"]},{"id":21,"text":"Sau khi một bệnh nhân uống một liều thuốc, nồng độ của thuốc trong máu người đó được mô hình hóa bởi hàm số $C(t)=\\frac{120t}{t^2+36}$ (đơn vị: mg/L), trong đó (t) là thời gian sau khi uống thuốc (đơn vị: giờ) và $t\\ge 0$. Tìm nồng độ thuốc tối đa (đơn vị: mg/L) trong máu của bệnh nhân.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"10","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm nồng độ thuốc theo thời gian: $C(t)=\\frac{120t}{t^2+36} \\quad (\\text{mg/L}),\\ t\\ge 0.$\n\nĐơn vị thời gian: giờ.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm nồng độ thuốc lớn nhất (giá trị cực đại của hàm) trên miền $t\\ge 0$. \n\nCần áp dụng kiến thức về tìm cực trị của hàm số bằng đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm của $C(t)$ bằng quy tắc thương:\n$C'(t)=\\frac{120(t^2+36)-120t\\cdot 2t}{(t^2+36)^2}=\\frac{4320-120t^2}{(t^2+36)^2}.$\n\nTìm nghiệm của $C'(t)=0$ (chỉ xét $t\\ge 0$):\n$4320-120t^2=0\\Longrightarrow t^2=36\\Longrightarrow t=6\\ (\\text{bỏ }-6).$\n\nKiểm tra giá trị tại điểm tới hạn và biên:\n$C(0)=0.$ \n\n$\\lim_{t\\to\\infty}C(t)=0.$ \n\nTại $t=6$: $C(6)=\\frac{120\\cdot 6}{6^2+36}=\\frac{720}{72}=10\\ (\\text{mg/L}).$\n\nVì các giá trị tại biên và giới hạn đều nhỏ hơn 10, nên giá trị lớn nhất trên miền $t\\ge 0$ là $10\\ \\text{mg/L}$ đạt được tại $t=6\\ \\text{giờ}.$\n\n✅ Đáp án: $10 mg/L$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"apply","tags":["tối-ưu-hóa","nồng-độ-thuốc","đạo-hàm","bài-toán-thực-tế","hàm-phân-thức"]},{"id":22,"text":"Trong không gian $(Oxyz)$, cho hai điểm $A(2;0;1)$ và $B(-1;-6;7)$ và mặt phẳng$(P):x-y+z-3=0$. Xét điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$, tìm giá trị nhỏ nhất của $2MA^2 + MB^2$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"69821915c7f4449be1d5cbf6","correctAnswer":"63","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian $Oxyz$, cho:\n$A(2;0;1)$\n\n$B(-1;-6;7)$\n\nMặt phẳng $(P):\\ x-y+z-3=0.$\n\nĐiểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$.\n\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\n$2MA^2+MB^2.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tối thiểu hóa một biểu thức bậc hai theo vị trí điểm $M$ bị ràng buộc bởi điều kiện $M\\in(P)$.\n\nÝ tưởng chính (theo gợi ý):\nQuy biểu thức $2MA^2+MB^2$ về dạng: $\\alpha MI^2+\\text{hằng số}$\n\nKhi đó giá trị nhỏ nhất đạt được khi $MI$ là khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(P)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tìm điểm đặc biệt $I$ theo gợi ý\nTa có điều kiện: $2\\vec{IA}+\\vec{IB}=\\vec{0}.$\n\nSuy ra: $I=\\dfrac{2A+B}{3}.$\n\nTính tọa độ: $I\\left(\\dfrac{2\\cdot2+(-1)}{3};\\dfrac{2\\cdot0+(-6)}{3};\\dfrac{2\\cdot1+7}{3}\\right)=(1;-2;3).$\n\nBước 2: Biến đổi biểu thức cần tìm min\nTa có: $2MA^2+MB^2=2(\\vec{MI}+\\vec{IA})^2+(\\vec{MI}+\\vec{IB})^2.$\n\nKhai triển: $2MA^2+MB^2=3MI^2+2IA^2+IB^2+2\\vec{MI}(2\\vec{IA}+\\vec{IB}).$\n\nDo $2\\vec{IA}+\\vec{IB}=\\vec{0}$ nên: $2MA^2+MB^2=3MI^2+2IA^2+IB^2.$\n\nBước 3: Đưa về bài toán khoảng cách\nVì $M\\in(P)$ nên: $MI\\ge d(I,(P)).$\n\nDo đó: $2MA^2+MB^2\\ge3d(I,(P))^2+2IA^2+IB^2.$\n\nDấu “=” xảy ra khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$.\n\nBước 4: Tính các đại lượng cần thiết\nKhoảng cách từ $I$ đến $(P)$:\n$d(I,(P))=\\dfrac{|1-(-2)+3-3|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\\dfrac{3}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{3}.$\n\nTính:\n$IA^2=(2-1)^2+(0+2)^2+(1-3)^2=1+4+4=9.$\n$IB^2=(-1-1)^2+(-6+2)^2+(7-3)^2=4+16+16=36.$\n\nBước 5: Tính giá trị nhỏ nhất\n$\\min(2MA^2+MB^2)=3(\\sqrt{3})^2+2\\cdot9+36=9+18+36=63.$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{63}$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","bloomLevel":"analyze","tags":["tối-ưu-hóa","khoảng-cách","mặt-phẳng","tọa-độ","giá-trị-nhỏ-nhất"]}],"mindmap":"# Đề thi thử THPT môn Toán trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên Trường Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2026 - Lần 1\n## Phương pháp tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐⭐ Phương trình đường thẳng trong không gian — Câu 1, Câu 20\n### ⭐⭐⭐⭐ Phương trình mặt phẳng — Câu 8, Câu 22\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương v — Câu 16\n## Hàm số mũ và hàm số lôgarit\n### ⭐ Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit — Câu 2\n### ⭐⭐⭐ Lôgarit — Câu 12, Câu 18\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương vi. — Câu 14\n## Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số\n### ⭐⭐ Tính đơn điệu và cực trị của hàm số — Câu 3, Câu 9\n### ⭐⭐ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số — Câu 5\n### ⭐⭐ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số — Câu 6\n### ⭐⭐⭐ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số — Câu 11, Câu 21\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương i — Câu 13, Câu 15\n### ⭐⭐⭐ Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn — Câu 19\n## Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐ Hệ trục tọa độ trong không gian — Câu 4\n### ⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 10\n## Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác\n### ⭐⭐ Phương trình lượng giác cơ bản — Câu 7\n## Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 17","analysis":"## 📖 Hiểu đề\n\n- **Đề này kiểm tra cái gì?** \n Đề kiểm tra kỹ năng và kiến thức cốt lõi về: (1) Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số (tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, tiệm cận, vẽ đồ thị); (2) Phương pháp tọa độ trong không gian (phương trình đường thẳng, mặt phẳng, trung điểm, khoảng cách, hình chiếu, diện tích tam giác); (3) Hàm số mũ và lôgarit (phương trình, tính chất logarit); (4) Ứng dụng thực tế của hàm số (lợi nhuận, chi phí, nồng độ thuốc, động đất); (5) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (tối ưu hóa chi phí). Mục tiêu là đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống mới, từ cơ bản đến phức tạp.\n\n- **Phong cách ra đề:** \n Đề có phong cách cân bằng giữa tính truyền thống và ứng dụng thực tế. Nhiều câu đòi hỏi suy luận và vận dụng kiến thức vào ngữ cảnh mới (ví dụ: câu 13, 17, 18, 19, 20, 21, 22). Có sự kết hợp giữa tính toán trực tiếp (nhận biết) và phân tích, khảo sát hàm số (thông hiểu, vận dụng). Đề thiên về vận dụng và suy luận hơn là ghi nhớ máy móc.\n\n- **Kiến thức nền hoặc kỹ năng gốc rễ:** \n Kiến thức nền tảng xuyên suốt là đạo hàm của hàm số (tìm đạo hàm, phân tích dấu đạo hàm, xác định cực trị, đơn điệu), tính chất của hàm số mũ và logarit, và các công thức trong không gian Oxyz (công thức tọa độ, vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng). Kỹ năng cốt lõi là biến đổi, rút gọn biểu thức, giải phương trình, và tư duy hình học không gian.\n\n## 🔍 Phân tích đề\n\n**1. Cấu trúc đề** \nĐề gồm 22 câu: 12 câu trắc nghiệm (câu 1-12), 4 câu Đúng-Sai (câu 13-16, mỗi câu 4 ý), 6 câu trả lời ngắn (câu 17-22).\n\n**2. Chủ đề trọng tâm** \n- **Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số**: 10-11 câu (câu 3, 5, 6, 9, 11, 13, 15, 19, 21, và một phần câu 14, 22 liên quan đến cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, tiệm cận, vẽ đồ thị). \n- **Phương pháp tọa độ trong không gian**: 6-7 câu (câu 1, 4, 8, 10, 16, 20, 22). \n- **Hàm số mũ và hàm số lôgarit**: 4 câu (câu 2, 12, 14, 18). \n- **Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn**: 1 câu (câu 17). \n\n**3. Độ khó** \n- **Phần nhận biết (câu 1, 2, 5, 7, 8, 12)**: Dễ đến trung bình, yêu cầu áp dụng công thức trực tiếp. \n- **Phần thông hiểu (câu 3, 4, 6, 9, 10, 11, 14)**: Trung bình, cần hiểu bảng biến thiên, đạo hàm, đồ thị, tọa độ. \n- **Phần vận dụng (câu 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22)**: Khó, đặc biệt câu 17 (hệ bất phương trình tối ưu), câu 22 (tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức với điều kiện). Các câu này đòi hỏi kết hợp nhiều kiến thức và suy luận. \n- **Phần phân hóa**: Các câu vận dụng cao (17, 19, 20, 21, 22) là phần phân hóa lớn, cần kỹ năng giải quyết bài toán thực tế và hình học không gian nâng cao. Khái niệm cốt lõi xuất hiện nhiều: đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, logarit."}