{"title":"Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2025","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2025,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"687dc5808e58e040efe7da8c","section":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"687dc5808e58e040efe7da8d","section":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"687dc5808e58e040efe7da8e","section":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau. Điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$x = -7$","correct":false,"reason":"Tại $x=-7$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ âm sang dương (hàm chuyển từ nghịch biến sang đồng biến) nên đây là điểm cực tiểu, không phải cực đại."},{"label":"B","text":"$x = -6$","correct":false,"reason":"$x=-6$ không phải là hoành độ của điểm cực trị; $-6$ chính là giá trị cực tiểu $y(-7)$ tại điểm $x=-7$."},{"label":"C","text":"$x = -3$","correct":false,"reason":"$x=-3$ không phải là hoành độ điểm cực trị; $-3$ là giá trị cực đại $y(-4)$ của hàm số tại điểm $x=-4$."},{"label":"D","text":"$x = -4$","correct":true,"reason":"Tại $x=-4$, đạo hàm $y'$ đổi dấu từ dương sang âm (hàm chuyển từ đồng biến sang nghịch biến) nên đây là điểm cực đại của hàm số."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ xác định trên $\\mathbb{R}$. \n\nBảng biến thiên cho biết:\n• Trên khoảng $(-\\infty,\\,-7)$, $y' < 0$ ⇒ hàm nghịch biến. \n• Tại $x=-7$, $y'=0$ và $y(-7)=-6\\,$ ⇒ cực tiểu tại điểm $(-7,-6)$. \n• Trên khoảng $(-7,\\,-4)$, $y' > 0$ ⇒ hàm đồng biến. \n• Tại $x=-4$, $y'=0$ và $y(-4)=-3\\,$ ⇒ dấu hiệu đổi từ đồng biến sang nghịch biến. \n• Trên khoảng $(-4,+\\infty)$, $y' < 0$ ⇒ hàm nghịch biến.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCực đại là điểm mà hàm đổi từ đồng biến sang nghịch biến. \n\nXác định vị trí $x$ sao cho trước đó $y'>0$ và sau đó $y'<0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuan sát khoảng trước và sau mỗi điểm mà $y'=0$:\nTại $x=-7$: trước đó $y'<0$, sau đó $y'>0$ ⇒ chuyển từ nghịch biến sang đồng biến ⇒ cực tiểu. \n\nTại $x=-4$: trước đó $y'>0$, sau đó $y'<0$ ⇒ chuyển từ đồng biến sang nghịch biến ⇒ cực đại.\n\nVậy điểm cực đại của hàm số là tại $x=-4$ (giá trị cực đại $y(-4)=-3$ nếu cần).\n\n✅ Đáp án: $x = -4$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $x=-7$: đây là cực tiểu, không phải cực đại. \n\nB. $x=-6$: không xuất hiện trong bảng biến thiên, không phải điểm cực trị. \n\nC. $x=-3$: đây là giá trị $y(-4)$, chứ không phải giá trị $x$ của điểm cực đại.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1V7UvtMUkyiGq-ciwWy1-YpKuoUfiuPvT_2025-07-21044337.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1V7UvtMUkyiGq-ciwWy1-YpKuoUfiuPvT_2025-07-21044337.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"remember","tags":["cực-đại","bảng-biến-thiên","hàm-số","điểm-cực-trị"]},{"id":2,"text":"Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \\dfrac{1}{x} + e$ là.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$F(x) = - \\dfrac{1}{x^2} + e^x + C$","correct":false,"reason":"Nhầm lẫn đạo hàm với nguyên hàm (đạo hàm của $\\frac{1}{x}$ là $-\\frac{1}{x^2}$) và nhầm hằng số $e$ với hàm $e^x$."},{"label":"B","text":"$F(x) = \\ln |x| + e.x + C$","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức $\\displaystyle\\int \\frac{1}{x}\\,dx = \\ln|x|$ và $\\displaystyle\\int e\\,dx = e \\cdot x$ với $e$ là hằng số."},{"label":"C","text":"$F(x) = \\ln |x| + e^x + C$","correct":false,"reason":"Nhầm lẫn giữa $\\displaystyle\\int e\\,dx$ (hằng số) và $\\displaystyle\\int e^x\\,dx$, dẫn đến kết quả $e^x$ thay vì $e \\cdot x$."},{"label":"D","text":"$F(x) = \\ln x + e + C$","correct":false,"reason":"Thiếu biến $x$ trong số hạng $e \\cdot x$ (vì nguyên hàm của hằng số $e$ là $e \\cdot x$) và dùng $\\ln x$ thiếu giá trị tuyệt đối."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số cần tìm nguyên hàm: $f(x)=\\dfrac1x + e$. \n\nYêu cầu: Tìm một hàm $F(x)$ sao cho $F’(x)=f(x)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính tích phân (nguyên hàm) của từng thành phần trong $f(x)$. \n\nBiết công thức cơ bản: \n• $\\displaystyle \\int \\frac1x\\,dx=\\ln|x|$ \n• $\\displaystyle \\int e\\,dx=e\\,x$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại tích phân tổng: \n\nTính từng tích phân: \n• $\\displaystyle \\int \\frac1x\\,dx = \\ln|x|$. \n• $\\displaystyle \\int e\\,dx = e\\,x$. \n\nKết hợp kết quả và thêm hằng số $C$: \n\n✅ Đáp án: \n❌ Các đáp án khác:\nA. $F(x) = -\\dfrac{1}{x^2} + e^x + C$: đây là phép tính sai, công thức trên là đạo hàm của $\\frac1x$ và $e^x$ chứ không phải nguyên hàm. \n\nC. $F(x) = \\ln|x| + e^x + C$: nhầm lẫn giữa $\\int e\\,dx = e\\,x$ và $\\int e^x\\,dx = e^x$. \n\nD. $F(x) = \\ln x + e + C$: thiếu thành phần $e\\,x$ và chỉ đúng với $x>0$, đồng thời $\\int e\\,dx$ không cho ra hằng số.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"nguyên hàm","bloomLevel":"remember","tags":["nguyên-hàm","1/x","e","hằng-số-tích-phân","logarit-tự-nhiên"]},{"id":3,"text":"Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một bảng số liệu ghép nhóm như sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$20\\ m^3$","correct":false,"reason":"Đây là tần số (số hộ gia đình) của nhóm $[3; 6)$, không phải là khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên phải được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của toàn bộ mẫu."},{"label":"B","text":"$18\\ m^3$","correct":false,"reason":"Đây chỉ là giá trị lớn nhất $x_{\\max} = 18$ của mẫu số liệu, chưa trừ đi giá trị nhỏ nhất. Khoảng biến thiên cần tính theo công thức $R = x_{\\max} - x_{\\min}$."},{"label":"C","text":"$3\\ m^3$","correct":false,"reason":"Đây chỉ là giá trị nhỏ nhất $x_{\\min} = 3$ của mẫu số liệu, chưa trừ đi giá trị lớn nhất. Khoảng biến thiên phải là hiệu số $18 - 3 = 15$."},{"label":"D","text":"$15\\ m^3$","correct":true,"reason":"Đúng vì khoảng biến thiên được tính theo công thức $R = x_{\\max} - x_{\\min} = 18 - 3 = 15\\ \\text{m}^3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTần số các hộ gia đình theo các khoảng lượng nước tiêu thụ (m³):\n• [3; 6): 20 hộ \n• [6; 9): 60 hộ \n• [9; 12): 40 hộ \n• [12; 15): 32 hộ \n• [15; 18): 7 hộ\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã được ghép nhóm. \n\nÁp dụng công thức khoảng biến thiên: \n$\\text{Khoảng biến thiên} = x_{\\max} - x_{\\min}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định giá trị nhỏ nhất: \n$x_{\\min} = 3\\ \\text{m}^3.$\n\nXác định giá trị lớn nhất: \n$x_{\\max} = 18\\ \\text{m}^3.$\n\nTính khoảng biến thiên theo công thức: \n$\\Delta = x_{\\max} - x_{\\min}\n = 18 - 3\n = 15\\ \\text{m}^3.$\n\n✅ Đáp án: $15\\ \\text{m}^3$\n❌ Các đáp án khác:\nA. 20 m³: đây là số hộ gia đình trong khoảng [3; 6), không phải khoảng biến thiên. \n\nB. 18 m³: đây là giá trị lớn nhất của dữ liệu, chưa trừ đi giá trị nhỏ nhất. \n\nC. 3 m³: đây là giá trị nhỏ nhất của dữ liệu, không phải khoảng biến thiên.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1W5eXnNeqNJnxiGKWeJN-kPmmQbteThmy_2025-07-21044337.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","bloomLevel":"remember","tags":["khoảng-biến-thiên","mẫu-số-liệu-ghép-nhóm","thống-kê","số-đặc-trưng"]},{"id":4,"text":"Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(1) = -3,\\ F(-2) = 12$. Tính $I = \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$I = 9$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm lẫn phép toán, có thể đã tính $F(1) + F(-2) = -3 + 12 = 9$ thay vì lấy hiệu $F(1) - F(-2)$ theo công thức Newton-Leibniz."},{"label":"B","text":"$I = 15$","correct":false,"reason":"Sai do đảo ngược thứ tự giới hạn tích phân, tính $F(-2) - F(1) = 12 - (-3) = 15$ thay vì $F(1) - F(-2)$."},{"label":"C","text":"$I = -36$","correct":false,"reason":"Sai do phép tính không liên quan đến công thức tích phân, có thể nhân hai giá trị $(-3) \\times 12 = -36$ thay vì lấy hiệu."},{"label":"D","text":"$I = -15$","correct":true,"reason":"Đúng vì theo công thức Newton-Leibniz, $\\displaystyle \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx = F(1) - F(-2) = -3 - 12 = -15$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. \n\nGiá trị $F(1) = -3$ và $F(-2) = 12$. \n\nCần tính tích phân $I = \\int_{-2}^{1} f(x)\\,dx$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn tính giá trị tích phân xác định của $f(x)$ trên đoạn $[-2,1]$. \n\nÁp dụng định lý cơ bản của giải tích: nếu $F'(x)=f(x)$ thì $\\displaystyle \\int_a^b f(x)\\,dx = F(b)-F(a)\\,.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng định lý cơ bản của giải tích: \n\nThay vào các giá trị đã cho: \n\nKết luận: tích phân bằng $-15$.\n\n✅ Đáp án: $I = -15$ \n❌ Các đáp án khác:\nA. $I = 9$: nhầm dấu khi tính hiệu. \n\nB. $I = 15$: chỉ lấy giá trị tuyệt đối, bỏ qua dấu âm. \n\nC. $I = -36$: phép tính không đúng, kết quả không liên quan.","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","bloomLevel":"understand","tags":["tích-phân","nguyên-hàm","định-lý-cơ-bản-của-giải-tích","tính-chất-tích-phân"]},{"id":5,"text":"Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P): 2x + y - 1 = 0$có một vectơ pháp tuyến là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{n_4} = (2;1;0)$","correct":true,"reason":"Phương trình $2x+y-1=0$ viết lại là $2x+1y+0z-1=0$, nên theo dạng $Ax+By+Cz+D=0$ ta có $A=2, B=1, C=0$, do đó vectơ pháp tuyến là $(2;1;0)$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{n_3} = (1;2;0)$","correct":false,"reason":"Sai vì hoán đổi hệ số của $x$ và $y$ (phải là $2$ và $1$, không phải $1$ và $2$)."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{n_2} = (2;1;-1)$","correct":false,"reason":"Sai vì thành phần $z$ phải bằng $0$ (hệ số của $z$ trong phương trình), không phải $-1$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{n_1} = (-2;-1;1)$","correct":false,"reason":"Sai vì thành phần $z$ phải bằng $0$, không phải $1$; vectơ $(-2;-1;1)$ không cùng phương với $(2;1;0)$ nên không phải là vectơ pháp tuyến."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt phẳng $(P)$: $2x + y - 1 = 0.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. \n\nÁp dụng kiến thức: Với mặt phẳng có phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0,$ thì vector pháp tuyến là $(A;B;C).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhận xét phương trình: $2x + y - 1 = 0$ có thể viết lại dưới dạng $2x + 1\\cdot y + 0\\cdot z -1 = 0.$\n\nSo sánh với dạng chuẩn $Ax + By + Cz + D = 0$ ta có:\n$A = 2$ \n\n$B = 1$ \n\n$C = 0$\n\nDo đó, một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là \n$\\overrightarrow{n} = (2;1;0).$ \n\nĐối chiếu với các phương án: \nPhương án A cho $\\overrightarrow{n_4} = (2;1;0)$ trùng khớp. \n\nCác phương án còn lại sai vì hệ số không đúng hoặc thành phần $z$ không bằng 0.\n\n✅ Đáp án: $\\overrightarrow{n_4} = (2;1;0)$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $(1;2;0)$: hoán đổi hệ số $A$ và $B$, không khớp với phương trình. \n\nC. $(2;1;-1)$: có thành phần $z\\neq0$, không phù hợp. \n\nD. $(-2;-1;1)$: thành phần $z\\neq0$, không cùng hướng với vector pháp tuyến cần tìm.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","bloomLevel":"remember","tags":["mặt-phẳng","vectơ-pháp-tuyến","phương-trình-mặt-phẳng","tọa-độ-không-gian"]},{"id":6,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa 2 vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CD'}$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$30°$","correct":false,"reason":"Sai vì theo công thức tích vô hướng, $\\cos \\theta = \\frac{\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{CD'}}{|\\overrightarrow{AB}||\\overrightarrow{CD'}|} = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\\theta = 135^\\circ$ chứ không phải $30^\\circ$."},{"label":"B","text":"$135°$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\\overrightarrow{DC}$ (ngược hướng $\\overrightarrow{CD}$), mà góc giữa $\\overrightarrow{CD}$ và $\\overrightarrow{CD'}$ là $45^\\circ$ (do $\\triangle CDD'$ vuông cân tại $D$), nên góc giữa $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CD'}$ là $180^\\circ - 45^\\circ = 135^\\circ$."},{"label":"C","text":"$60°$","correct":false,"reason":"Sai vì không tồn tại mối liên hệ hình học nào trong hình lập phương cho ra góc $60^\\circ$ giữa hai vectơ này."},{"label":"D","text":"$45°$","correct":false,"reason":"Sai vì $45^\\circ$ là góc nhọn giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD'$ (hay góc giữa $\\overrightarrow{CD}$ và $\\overrightarrow{CD'}$), nhưng do $\\overrightarrow{AB}$ ngược hướng $\\overrightarrow{CD}$ nên góc giữa hai vectơ $\\overrightarrow{AB}$ và $\\overrightarrow{CD'}$ là góc tù $135^\\circ$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$\n\nCần tính góc giữa hai vectơ $\\vec{AB}$ và $\\vec{CD'}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐề bài yêu cầu tính góc giữa hai vectơ $\\vec{AB}$ và $\\vec{CD'}$\n\nTrong không gian, góc giữa hai vectơ là góc nhọn hoặc tù giữa chúng, và được xác định dựa vào tích vô hướng hoặc góc hình học giữa hai hướng đó.\n\nỞ đây, ta dùng cách hình học: góc giữa hai vectơ là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ.\n\nGợi ý cho biết: góc cần tính là góc bù của góc $\\angle DCD'$, và $\\angle DCD' = 45^\\circ$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong hình lập phương, các cạnh có độ dài bằng nhau và vuông góc với nhau.\n\nXét các vectơ:\n$\\vec{AB}$ là cạnh đáy nằm ngang (song song trục Ox chẳng hạn)\n\n$\\vec{CD'}$ là đường chéo xiên từ đỉnh $C$ lên đỉnh $D'$ (nằm trên hai mặt không vuông góc nhau)\n\nTừ hình vẽ và định hướng không gian:\nTa thấy $\\vec{CD'}$ là đường chéo của mặt bên, từ điểm $C$ đến $D'$\n\nKhi xét hình chiếu không gian, góc giữa $\\vec{AB}$ và $\\vec{CD'}$ là góc bù với góc $\\angle DCD'$\n\nTheo gợi ý: $\\angle DCD' = 45^\\circ$\n⇒ Góc giữa $\\vec{AB}$ và $\\vec{CD'}$ là:\n$180^\\circ - 45^\\circ = 135^\\circ$\n\n✅ Đáp án: B. $135^\\circ$\n❌ Các đáp án khác:\nA. $30^\\circ$: Sai vì không đúng góc bù với $45^\\circ$\n\nC. $60^\\circ$: Sai, không liên quan đến góc $DCD'$\n\nD. $45^\\circ$: Sai, đây là góc trong mặt bên chứ không phải góc giữa hai vectơ cần tìm.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1I2yiGDqjnL-2EhN3ZExkkxHKkUEXyKET_2025-07-21044337.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"understand","tags":["góc-giữa-hai-vectơ","hình-lập-phương","tích-vô-hướng","vectơ-trong-không-gian"]},{"id":7,"text":"Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Trên đoạn $[1;5]$, hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$x = 4$","correct":false,"reason":"Tại $x=4$, hàm số đạt giá trị $f(4)=0$, là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) trên đoạn $[1;5]$, chứ không phải giá trị lớn nhất."},{"label":"B","text":"$x = 1$","correct":false,"reason":"Tại $x=1$, giá trị hàm số là $f(1)=3$, nhỏ hơn $f(2)=4$ nên không phải là giá trị lớn nhất trên đoạn $[1;5]$."},{"label":"C","text":"$x = 2$","correct":true,"reason":"Tại $x=2$, hàm số đạt cực đại với $f(2)=4$, lớn hơn tất cả các giá trị tại điểm biên ($f(1)=3$, $f(5)=2$) và điểm cực tiểu ($f(4)=0$), do đó đây là điểm đạt giá trị lớn nhất."},{"label":"D","text":"$x = 5$","correct":false,"reason":"Tại $x=5$, giá trị hàm số là $f(5)=2$, nhỏ hơn $f(2)=4$ nên không phải là giá trị lớn nhất trên đoạn $[1;5]$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$. \n\nĐồ thị là một đường cong bậc ba với các đặc điểm: \n• Đồng biến trên khoảng $(1;2)$, đạt đỉnh tại $x=2$, \n• Nghịch biến trên khoảng $(2;4)$, \n• Đồng biến trở lại trên khoảng $(4;5)$. \n\nĐồ thị đi qua các điểm rõ ràng: \n• $(1,3)$ \n• $(2,4)$ \n• $(4,0)$ \n• $(5,2)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị $x$ trên đoạn $[1;5]$ sao cho $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất. \n\nCần vận dụng khái niệm giá trị lớn nhất của hàm số liên tục trên đoạn đóng: sẽ xảy ra tại các điểm biên hoặc điểm cực trị (cực đại).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định các điểm ứng viên: \n• Các điểm biên: $x=1$ và $x=5$. \n• Điểm cực đại nội tại (theo hình vẽ): $x=2$. \n• (Điểm $x=4$ là điểm đổi chiều từ nghịch biến sang đồng biến, nhưng theo giá trị cũng kiểm tra được.) \n\nĐọc giá trị hàm tại các điểm đó từ đồ thị: \n• $f(1)=3$ \n• $f(2)=4$ \n• $f(4)=0$ \n• $f(5)=2$ \n\nSo sánh các giá trị: trong bốn giá trị, $4$ là lớn nhất. \n\nKết luận: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=2$.\n\n✅ Đáp án: $x = 2$\n❌ Các đáp án khác:\n$x=4$: vì $f(4)=0<4$ nên không phải giá trị lớn nhất. \n\n$x=1$: vì $f(1)=3<4$ nên không phải giá trị lớn nhất. \n\n$x=5$: vì $f(5)=2<4$ nên không phải giá trị lớn nhất.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1iGokQV6ynqsX1IaX0mafwoSdwC6Xw38R_2025-07-21044337.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["giá-trị-lớn-nhất","đồ-thị-hàm-số","hàm-số-liên-tục","đoạn"]},{"id":8,"text":"Tập nghiệm của bất phương trình $\\log_{\\frac{1}{2}}(x+1) > -1$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$(-1;1)$","correct":true,"reason":"Điều kiện xác định $x+1>0$ cho $x>-1$. Vì cơ số $\\frac{1}{2}\\in(0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó $\\log_{\\frac{1}{2}}(x+1)>-1$ tương đương $x+1<\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-1}=2$, suy ra $x<1$. Kết hợp với $x>-1$ được tập nghiệm $(-1;1)$."},{"label":"B","text":"$(1;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Với $x>1$ thì $x+1>2$, suy ra $\\log_{\\frac{1}{2}}(x+1)<\\log_{\\frac{1}{2}}(2)=-1$ (do cơ số nhỏ hơn $1$), nên bất phương trình không thỏa mãn."},{"label":"C","text":"$(-\\infty;1)$","correct":false,"reason":"Khoảng này chứa $x\\leq -1$ làm $x+1\\leq 0$, khi đó $\\log_{\\frac{1}{2}}(x+1)$ không xác định, vi phạm điều kiện tồn tại của logarit."},{"label":"D","text":"$(0;3)$","correct":false,"reason":"Khoảng này chứa $x\\in[1;3)$ thỏa $x+1\\geq 2$ nên $\\log_{\\frac{1}{2}}(x+1)\\leq -1$, không thỏa mãn bất phương trình dạng $>-1$. Đồng thời loại bỏ các giá trị hợp lệ như $x\\in(-1;0]$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBất phương trình cần giải: $\\log_{\\tfrac12}(x+1) > -1$ \n\nĐiều kiện xác định của biểu thức logarit: $x+1>0$ \n\nCác phương án lựa chọn: \n• $(-1;1)$ \n• $(1;+\\infty)$ \n• $(-\\infty;1)$ \n• $(0;3)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi: \nTìm tập nghiệm của bất phương trình logarit với cơ số $\\frac12$ (cơ số thuộc khoảng $(0,1)$). \n\nPhải sử dụng tính chất hàm số logarit nghịch biến khi cơ số nằm trong $(0,1)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nBước 1. Xác định điều kiện xác định: \n$x+1>0\\quad\\Rightarrow\\quad x>-1.$ \n\nBước 2. Gọi hàm số $f(x)=\\log_{\\tfrac12}(x+1).$ Vì cơ số $\\tfrac12\\in(0,1)$ nên $f(x)$ là hàm nghịch biến. \n\nBước 3. Biến đổi bất phương trình: \n$\\log_{\\tfrac12}(x+1)>-1 \n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x+1<\\bigl(\\tfrac12\\bigr)^{-1} \n \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x+1<2.$ \n\nBước 4. Kết hợp với điều kiện $x>-1$ ta được: \n$-11$ thì $x+1>2\\Rightarrow\\log_{\\tfrac12}(x+1)<-1$, không thỏa. \n\n$(-\\infty;1)$: Bao gồm $x\\le-1$ làm $x+1\\le0$, log không xác định. \n\n$(0;3)$: Kết quả chứa các $x>1$, khi đó logarit không lớn hơn $-1$.","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","bloomLevel":"understand","tags":["bất-phương-trình-lôgarit","cơ-số","điều-kiện-xác-định","tập-nghiệm","logarit"]},{"id":9,"text":"Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \\dfrac{-2x -1}{x - 2}$ là.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$y = -2$","correct":true,"reason":"Vì bậc của tử số và mẫu số bằng nhau (đều bậc 1), tiệm cận ngang là tỉ số hệ số cao nhất: $y = \\frac{-2}{1} = -2$."},{"label":"B","text":"$y = 2$","correct":false,"reason":"Sai dấu, hệ số của $x$ ở tử số là $-2$ nên tiệm cận ngang là $y = -2$, không phải $y = 2$."},{"label":"C","text":"$x = 2$","correct":false,"reason":"Đây là phương trình tiệm cận đứng (tại $x = 2$ mẫu số bằng 0), không phải tiệm cận ngang."},{"label":"D","text":"$x = -2$","correct":false,"reason":"Giá trị $x = -2$ không làm mẫu số bằng 0, nên đây không phải tiệm cận đứng, đồng thời cũng không phải tiệm cận ngang."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hàm số $y = \\dfrac{-2x - 1}{x - 2}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.\n\nĐể xác định tiệm cận ngang, ta cần so sánh bậc của tử số và mẫu số trong hàm phân thức.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định bậc của đa thức ở tử số và mẫu số:\nTử số: $-2x - 1$ có bậc 1.\n\nMẫu số: $x - 2$ có bậc 1.\n\nKhi hai bậc bằng nhau, tiệm cận ngang có dạng \n$y = \\frac{\\text{hệ số của }x\\text{ ở tử số}}{\\text{hệ số của }x\\text{ ở mẫu số}}.$\n\nỞ đây, hệ số của $x$ ở tử số là $-2$, ở mẫu số là $1$. \nVậy tiệm cận ngang là \n$y = \\frac{-2}{1} = -2.$\n\n✅ Đáp án: $y = -2$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $y = 2$: sai vì hệ số của $x$ ở tử số là $-2$, không phải $2$. \n\nC. $x = 2$: đây là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. \n\nD. $x = -2$: cũng không phải tiệm cận ngang của hàm số.","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","bloomLevel":"remember","tags":["tiệm-cận-ngang","hàm-phân-thức","giới-hạn","đồ-thị-hàm-số"]},{"id":10,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là $2a$. Thể tích khối chóp $S.BCD$ bằng.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{a^3}{8}$","correct":false,"reason":"Sai do tính nhầm diện tích đáy (ví dụ lấy $S=\\frac{a^2}{4}$) hoặc chiều cao, dẫn đến kết quả $\\frac{a^3}{8}$."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{a^3}{3}$","correct":true,"reason":"Diện tích tam giác $BCD$ là $S=\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}$, chiều cao $SA=2a$, nên thể tích $V=\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2}{2} \\cdot 2a = \\frac{a^3}{3}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{a^3}{4}$","correct":false,"reason":"Sai do nhầm hệ số trong công thức (ví dụ dùng $\\frac{1}{4}$ thay vì $\\frac{1}{3}$) hoặc tính sai chiều cao, ví dụ $V=\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{a^2}{2} \\cdot 2a = \\frac{a^3}{4}$."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{2a^3}{3}$","correct":false,"reason":"Là thể tích của khối chóp $S.ABCD$ khi tính diện tích đáy là cả hình vuông ($S=a^2$), vì $V_{S.ABCD}=\\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot 2a = \\frac{2a^3}{3}$, trong khi $S.BCD$ chỉ có đáy bằng nửa hình vuông."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài $SA = 2a$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích khối chóp $S.BCD$ với đáy là tam giác $BCD$ và đỉnh $S$. Chiều cao là khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(BCD)$, chính là đoạn $SA$ do $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Áp dụng công thức $V = \\frac{1}{3}S_{\\text{đáy}} \\cdot h$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích tam giác $BCD$ bằng một nửa diện tích hình vuông $ABCD$: $S_{BCD} = \\frac{1}{2} S_{ABCD} = \\frac{a^2}{2}$.\nChiều cao của khối chóp là $h = SA = 2a$.\nThể tích $V_{S.BCD} = \\frac{1}{3} \\cdot S_{BCD} \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2}{2} \\cdot 2a = \\frac{a^3}{3}$.\nPhương pháp khác: Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V_{S.ABCD} = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot 2a = \\frac{2a^3}{3}$. Vì $S.BCD$ có đáy bằng một nửa đáy $S.ABCD$ và cùng chiều cao nên $V_{S.BCD} = \\frac{1}{2}V_{S.ABCD} = \\frac{a^3}{3}$.\n\n✅ Đáp án: B\n\n❌ Các đáp án khác:\nĐáp án A $\\frac{a^3}{8}$ sai do nhầm lẫn trong tính toán diện tích đáy hoặc chiều cao. Đáp án C $\\frac{a^3}{4}$ sai do áp dụng sai hệ số hoặc công thức. Đáp án D $\\frac{2a^3}{3}$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$ với toàn bộ đáy hình vuông, không phải thể tích của $S.BCD$.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1W5eXnNeqNJnxiGKWeJN-kPmmQbteThmy_2025-07-21044337.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","bloomLevel":"understand","tags":["thể-tích-khối-chóp","hình-chóp","đáy-hình-vuông","đường-cao","vuông-góc"]},{"id":11,"text":"Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Giá trị $u_4$ bằng.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"24","correct":false,"reason":"Sai vì tính nhầm $(-2)^3 = 8$ (dương) thay vì $-8$, dẫn đến $u_4 = 3 \\times 8 = 24$ thay vì $-24$."},{"label":"B","text":"-12","correct":false,"reason":"Sai vì nhân sai giá trị, có thể do tính $(-2)^3 = -4$ hoặc thực hiện $3 \\times (-4) = -12$ thay vì $3 \\times (-8) = -24$."},{"label":"C","text":"-24","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức $u_n = u_1 \\cdot q^{n-1}$ với $n=4$, ta có $u_4 = 3 \\cdot (-2)^3 = 3 \\cdot (-8) = -24$."},{"label":"D","text":"12","correct":false,"reason":"Sai vì dùng sai số mũ $n-1=2$ thay vì $3$, tính $3 \\cdot (-2)^2 = 12$, hoặc bỏ qua dấu âm của công bội."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDãy số $(u_n)$ là cấp số nhân. \n\nSố hạng đầu $u_1 = 3$. \n\nCông bội $q = -2$. \n\nYêu cầu tính $u_4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân. \n\nÁp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \\cdot q^{\\,n-1}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Ghi lại công thức tổng quát của cấp số nhân: $u_n = u_1 \\cdot q^{\\,n-1}.$ \n\nBước 2: Thay $n = 4$, $u_1 = 3$ và $q = -2$ vào công thức: \n$u_4 = 3 \\cdot (-2)^{4-1} = 3 \\cdot (-2)^3.$ \n\nBước 3: Tính lũy thừa: $(-2)^3 = -8.$ \n\nBước 4: Nhân với 3: $u_4 = 3 \\times (-8) = -24.$\n\n✅ Đáp án: $-24$\n❌ Các đáp án khác:\n24: Sai vì coi $(-2)^3$ là $+8$ thay vì $-8$. \n\n-12: Sai vì nhân chưa đúng (3×(-4) thay vì 3×(-8)). \n\n12: Sai vì bỏ dấu âm và tính sai số mũ.","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","bloomLevel":"remember","tags":["cấp-số-nhân","số-hạng-tổng-quát","công-bội","u_n"]},{"id":12,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + y^2 + z^2 = \\dfrac{1}{4}$. Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8c","options":[{"label":"A","text":"$R = \\dfrac{1}{2}$","correct":true,"reason":"Phương trình chuẩn của mặt cầu tâm $O$ là $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. So sánh với đề bài ta có $R^2 = \\frac{1}{4}$, suy ra $R = \\sqrt{\\frac{1}{4}} = \\frac{1}{2}$."},{"label":"B","text":"$R = \\dfrac{1}{4}$","correct":false,"reason":"Đáp án này nhầm lẫn giữa $R^2$ và $R$, lấy trực tiếp giá trị $\\frac{1}{4}$ bên vế phải mà không khai căn bậc hai để tìm bán kính."},{"label":"C","text":"$R = 2$","correct":false,"reason":"Nếu $R = 2$ thì $R^2 = 4 \\neq \\frac{1}{4}$, không thỏa mãn phương trình đã cho (có thể do nhầm nghịch đảo của $\\frac{1}{2}$)."},{"label":"D","text":"$R = 4$","correct":false,"reason":"Nếu $R = 4$ thì $R^2 = 16 \\neq \\frac{1}{4}$, giá trị này quá lớn và không khớp với vế phải của phương trình."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình mặt cầu $(S)$: $x^2 + y^2 + z^2 = \\dfrac{1}{4}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm bán kính $R$ của mặt cầu khi biết phương trình của nó. \n\nÁp dụng công thức chuẩn của mặt cầu tại gốc tọa độ: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMột mặt cầu có tâm tại $O(0,0,0)$ và bán kính $R$ thỏa mãn phương trình \n$x^2 + y^2 + z^2 = R^2.$\n\nSo sánh với phương trình đã cho: $R^2 = \\dfrac{1}{4}.$\n\nLấy căn bậc hai hai vế, vì bán kính luôn không âm, ta được $R = \\sqrt{\\dfrac{1}{4}} = \\dfrac{1}{2}.$\n\n✅ Đáp án: $\\dfrac{1}{2}$\n❌ Các đáp án khác:\nB. $R = \\dfrac{1}{4}$ sai vì bỏ qua bước lấy căn của $R^2$. \n\nC. $R = 2$ sai vì $2^2 = 4$ khác $\\tfrac{1}{4}$. \n\nD. $R = 4$ sai vì $4^2 = 16$ không khớp với hệ số $\\tfrac{1}{4}$.","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt cầu","bloomLevel":"remember","tags":["mặt-cầu","bán-kính","phương-trình-mặt-cầu","tọa-độ-không-gian"]},{"id":13,"text":"Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (mg/l) của thuốc trong máu sau $x$ phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công thức $C(x) = \\dfrac{30x}{x^2 + 2}$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8d","statements":[{"label":"A","text":"Thời điểm 1 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu là 10 (mg/l)","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài:\nHàm nồng độ thuốc trong máu sau x phút: $C(x)=\\frac{30x}{x^2+2}$\n\n🔎 Giải thích:\nTại x=1: $C(1)=\\frac{30\\cdot1}{1^2+2}=\\frac{30}{3}=10$ mg/l.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Đạo hàm của hàm số $C(x)$ là $C'(x) = \\dfrac{60 - 30x^2}{(x^2 + 2)^2}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài:\nHàm nồng độ: $C(x)=\\frac{30x}{x^2+2}$\n\n🔎 Giải thích:\nÁp dụng quy tắc đạo hàm của thương:\n$C'(x)=\\frac{(30)(x^2+2)-30x\\cdot(2x)}{(x^2+2)^2}=\n \\frac{30x^2+60-60x^2}{(x^2+2)^2}=\\frac{60-30x^2}{(x^2+2)^2}$.\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Trong khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc trong máu giảm dần","correct":false,"explanation":"📑 Thông tin đề bài:\nHàm nồng độ: $C(x) = \\frac{30x}{x^2 + 2}$\n\n🔍 Giải thích:\nĐạo hàm: $C'(x) = \\frac{60 - 30x^2}{(x^2 + 2)^2}$\n\nDấu của C':\n◦ Nếu $x^2 < 2$ (tức $0 < x < \\sqrt{2}$), thì $C'>0 \\Rightarrow$ hàm tăng.\n◦ Nếu $x^2 > 2$ ($x > \\sqrt{2}$), thì $C' < 0 \\Rightarrow$ hàm giảm.\n\nTừ 1 phút đến khoảng 1.414 phút, hàm đang tăng, không giảm liên tục.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm 2 phút sau khi tiêm","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài:\nHàm nồng độ: $C(x)=\\frac{30x}{x^2+2}$\n\n🔎 Giải thích:\nTìm điểm cực trị: giải $C'(x)=0⇒60-30x^2=0⇒x^2=2⇒x=\\sqrt{2}\\approx1.414$.\n\nHàm đạt giá trị lớn nhất tại $x=\\sqrt{2}$, không phải 2.\n\nKết luận: Sai"}],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"apply","tags":["đạo-hàm","nồng-độ-thuốc","hàm-số","cực-trị","ứng-dụng-thực-tế","tốc-độ-thay-đổi"]},{"id":14,"text":"Trong một hộp đựng 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu chứa phiếu không có thưởng (các quả cầu cùng hình dạng, kích thước và khối lượng). Hai bạn Bình, An lần lượt lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) mỗi bạn một quả. Bạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8d","statements":[{"label":"A","text":"Xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là $\\dfrac{1}{2}$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp có 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu không có thưởng, tổng 15 quả.\n\nLấy ngẫu nhiên không hoàn lại, bạn Bình lấy trước.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSố kết quả thuận lợi: 5 (số quả cầu có phiếu có thưởng).\n\nSố kết quả khả thi: 15 (tổng số quả cầu).\n\nXác suất:\n$P = \\frac{5}{15} = \\frac{1}{3}$\n\nKết luận: Sai (phát biểu cho rằng xác suất là $\\frac{1}{2}$ không chính xác)."},{"label":"B","text":"Biết bạn Bình đã lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng, xác suất để bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là $\\dfrac{2}{7}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBan đầu có 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng, 10 quả cầu không có thưởng.\n\nBạn Bình đã lấy được 1 quả cầu chứa phiếu có thưởng nên còn lại 4 quả cầu có thưởng và tổng 14 quả cầu.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để bạn An lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng khi biết bạn Bình đã lấy được quả có thưởng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSố quả có thưởng còn lại: 4.\n\nTổng số quả còn lại: 14.\n\nXác suất có điều kiện:\n$P = \\frac{4}{14} = \\frac{2}{7}$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Xác suất để cả hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng là $\\dfrac{2}{21}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp có 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu không có thưởng (tổng 15 quả cầu).\n\nBạn Bình và bạn An lần lượt lấy ngẫu nhiên không hoàn lại (Bình trước, An sau).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để cả hai bạn cùng lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác suất bạn Bình lấy được phiếu có thưởng:\n$P(B) = \\frac{5}{15} = \\frac{1}{3}$\n\nKhi Bình đã lấy 1 quả thưởng, còn lại 4 quả thưởng trên tổng 14 quả.\n\nXác suất bạn An lấy được quả thưởng sau:\n$P(A\\mid B) = \\frac{4}{14} = \\frac{2}{7}$\n\nXác suất cả hai cùng lấy được:\n$P(B\\cap A) = P(B) \\times P(A\\mid B) = \\frac{1}{3} \\times \\frac{2}{7} = \\frac{2}{21}$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"D","text":"Biết An lấy được quả cầu có phiếu có thưởng, xác suất để Bình lấy được quả cầu có phiếu có thưởng là $\\dfrac{2}{7}$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp có 5 quả cầu chứa phiếu có thưởng và 10 quả cầu không có thưởng (tổng 15 quả cầu).\n\nBạn Bình lấy trước, bạn An lấy sau.\n\nBiết bạn An đã lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để bạn Bình lấy được quả cầu chứa phiếu có thưởng khi biết An lấy được quả có thưởng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác suất cả hai cùng lấy được quả thưởng (tính từ câu C):\n$P(B\\cap A) = \\frac{2}{21}$\n\nXác suất bạn An lấy được quả thưởng:\n$P(A) = \\frac{5}{15} = \\frac{1}{3}$\n\nÁp dụng công thức Bayes:\n$P(B\\mid A) = \\frac{P(B\\cap A)}{P(A)} = \\frac{2/21}{1/3} = \\frac{2}{7}$\n\nKết luận: Đúng"}],"chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","bloomLevel":"apply","tags":["xác-suất-có-điều-kiện","lấy-không-hoàn-lại","biến-cố","công-thức-Bayes"]},{"id":15,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3), B(-2;1;1)$","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8d","statements":[{"label":"A","text":"Điểm $\\left( -\\dfrac{1}{2}; \\dfrac{3}{2}; 2 \\right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A có tọa độ $(1,2,3)$ và điểm B có tọa độ $(-2,1,1)$\n\nXét khẳng định: Điểm $\\left(-\\frac{1}{2};\\,\\frac{3}{2};\\,2\\right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn chứng minh một điểm M là trung điểm của AB, ta cần kiểm tra xem toạ độ của M có bằng trung bình cộng của toạ độ A và B hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng công thức trung điểm: Nếu M là trung điểm AB thì\n$x_M = \\frac{x_A + x_B}{2},\\quad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2},\\quad z_M = \\frac{z_A + z_B}{2}.$ \n\nThay tọa độ $A(1,2,3)$ và $B(-2,1,1) $ vào:\n$x_M = \\frac{1 + (-2)}{2} = -\\frac{1}{2},$\n$y_M = \\frac{2 + 1}{2} = \\frac{3}{2},$\n$z_M = \\frac{3 + 1}{2} = 2.$ \n\nKết quả đúng là $\\left(-\\frac{1}{2},\\,\\frac{3}{2},\\,2\\right).$\n\nKết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"$AB = 4$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A $(1,2,3)$ và B $(-2,1,1)$\n\nXét khẳng định: $AB = 4$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính độ dài đoạn thẳng AB và so sánh với 4.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:\n$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$ \n\nThay số vào:\n$AB = \\sqrt{(-2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \\sqrt{9 + 1 + 4} = \\sqrt{14}.$ \n\nTa có $\\sqrt{14} \\approx 3.74 \\neq 4.$\n\nKết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là $(S): \\left( x + \\dfrac{1}{2} \\right)^2 + \\left( y - \\dfrac{3}{2} \\right)^2 + (z - 2)^2 = 14$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nA $(1,2,3)$, B $(-2,1,1)$\n\nKhẳng định: Phương trình mặt cầu có đường kính AB là\n$(S): (x + \\tfrac{1}{2})^2 + (y - \\tfrac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 14.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm toạ độ trung điểm AB làm tâm, bán kính là nửa độ dài AB, sau đó viết phương trình mặt cầu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính trung điểm AB: $C\\left(-\\tfrac{1}{2},\\,\\tfrac{3}{2},\\,2\\right).$\n\nĐộ dài AB: $AB = \\sqrt{14},$ nên bán kính $r = \\frac{AB}{2} = \\frac{\\sqrt{14}}{2},$ suy ra $r^2 = \\frac{14}{4} = 3.5.$\n\nPhương trình mặt cầu đường kính AB là:\n$(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 + (z - z_C)^2 = r^2$\n$\\Leftrightarrow (x + \\tfrac{1}{2})^2 + (y - \\tfrac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 3.5.$ \n\nSo sánh với khẳng định: Họ ghi bằng 14 thay vì 3.5.\n\nKết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Xét các điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ thỏa mãn $\\widehat{AMB} = 90^\\circ$. Giá trị nhỏ nhất của đoạn $OM$ không vượt quá 1","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nA $(1,2,3)$, B $(-2,1,1)$.\n\nXét các điểm M thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ (tức $y=0$) sao cho $\\angle AMB = 90^\\circ$.\n\nKhẳng định: Giá trị nhỏ nhất của $OM$ không vượt quá 1.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐiểm M thỏa mãn góc vuông với đỉnh M và A, B là hai đầu đoạn thẳng: đó là các điểm trên mặt cầu có đường kính AB.\n\nTìm giao điểm của mặt cầu với mặt phẳng $y=0$, rồi xác định khoảng cách nhỏ nhất từ gốc tọa độ O đến những điểm này.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMặt cầu đường kính AB có tâm $C\\left(-\\tfrac{1}{2},\\,\\tfrac{3}{2},\\,2\\right)$ và bán kính $r = \\tfrac{\\sqrt{14}}{2}$, nên phương trình:\n$(x + \\tfrac{1}{2})^2 + (y - \\tfrac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = \\tfrac{14}{4} = 3.5.$ \n\nGiao với mặt phẳng $y=0$ nhận được vòng tròn:\n$(x + \\tfrac{1}{2})^2 + (z - 2)^2 = 3.5 - \\bigl(-\\tfrac{3}{2}\\bigr)^2 = 3.5 - 2.25 = 1.25.$ \nTâm $C'(-\\tfrac{1}{2},2)$ trong hệ toạ độ $(x,z)$, bán kính $\\tfrac{\\sqrt{5}}{2}.$\n\nKhoảng cách từ O đến tâm $C'$ là\n$OC' = \\sqrt{(-\\tfrac{1}{2})^2 + 2^2} = \\sqrt{0.25 + 4} = \\sqrt{4.25} \\approx 2.062.$ \n\nGiá trị nhỏ nhất của $OM$ bằng $OC'$ trừ bán kính vòng tròn:\n$\\min OM = OC' - \\tfrac{\\sqrt{5}}{2} \\approx 2.062 - 1.118 = 0.944 < 1.$\n\nKết luận: Đúng"}],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"analyze","tags":["tọa-độ-điểm","trung-điểm","khoảng-cách","mặt-cầu","góc","bài-toán-cực-trị","mặt-phẳng-Oxz"]},{"id":16,"text":"Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số $v(t) = \\begin{cases} at^2 + bt + c & (0 \\le t \\le 6) \\\\ m & (6 < t \\le 10) \\end{cases}$ (đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8d","statements":[{"label":"A","text":"Trong khoảng từ phút thứ 6 đến phút thứ 10, vận tốc vật thể không thay đổi.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVật thể chuyển động trong 10 phút.\n\nVận tốc được biểu diễn bằng hàm số mảnh:\n$v(t) = \\begin{cases} at^2 + bt + c & \\text{với } 0 \\le t \\le 6 \\\\ m & \\text{với } 6 < t \\le 10 \\end{cases}$\n\nĐồ thị cho thấy từ phút thứ 6 đến phút thứ 10, đường cong trở thành một đoạn thẳng nằm ngang ở mức 1000 (m/phút).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu a phát biểu:\n“Trong khoảng từ phút thứ 6 đến phút thứ 10, vận tốc vật thể không thay đổi.”\nCần xác định:\n\nVận tốc có thay đổi trong khoảng $6 < t \\le 10$ hay không.\n\nDựa vào đồ thị và công thức hàm $v(t)$ ở đoạn này.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐoạn $6 < t \\le 10$, theo đề bài:\n$v(t) = m \\quad \\text{(hằng số)}$\n⇒ Vận tốc không phụ thuộc vào thời gian ⇒ không thay đổi.\n\nQuan sát đồ thị: từ phút thứ 6 đến 10, đồ thị là một đoạn thẳng ngang, điều này khớp với việc vận tốc là một hằng số.\n→ Cả công thức và đồ thị đều xác nhận vận tốc không đổi trong đoạn từ phút thứ 6 đến 10.\n\n✅ Đáp án: “Đúng” ✅"},{"label":"B","text":"Quãng đường đi được của vật thể sau 6 phút đầu tiên là $\\int_0^6 v(t)\\,dt$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVận tốc trong khoảng $0 \\le t \\le 6$: $v(t) = at^2 + bt + c$\n\nYêu cầu: tính quãng đường đi được sau 6 phút đầu tiên, tức là:\n$S = \\int_0^6 v(t) \\, dt$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính tích phân của hàm vận tốc $v(t)$ từ $t = 0$ đến $t = 6$ để tìm quãng đường.\n\nDạng toán cơ bản về liên hệ giữa quãng đường và vận tốc theo thời gian:\n$\\text{Quãng đường} = \\int v(t) \\, dt$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTheo định nghĩa quãng đường:\n$S = \\int_0^6 v(t) \\, dt = \\int_0^6 (at^2 + bt + c) \\, dt$\n\nĐây là công thức chuẩn để tính quãng đường từ vận tốc là hàm bậc hai.\n→ Biểu thức này chính xác về mặt toán học.\n\n✅ Đáp án: “Đúng” ✅"},{"label":"C","text":"$5a + b = 20$","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc:\n$v(t) = at^2 + bt + c \\quad \\text{với } 0 \\le t \\le 6$\n\nĐồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0, 0)$\n\nTại $t = 5$, $v(5) = 1000$\n\nCâu c cho rằng:\n$5a + b = 20$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra xem biểu thức $5a + b = 20$ có đúng không dựa trên dữ kiện đồ thị.\n\nCần áp dụng kiến thức:\nĐồ thị đi qua điểm nào thì tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình hàm số.\n\nThay dữ kiện vào hàm để thiết lập phương trình liên hệ giữa $a, b, c$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đồ thị đi qua điểm $O(0, 0)$, nên:\n$v(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = 0 \\Rightarrow c = 0$\n\nTại $t = 5$, đồ thị cho $v(5) = 1000$, nên:\n$v(5) = a \\cdot 5^2 + b \\cdot 5 + c = 1000$\nVì $c = 0$, ta có:\n$25a + 5b = 1000 \\quad \\text{(1)}$\n\nChia cả hai vế của (1) cho 5:\n$5a + b = 200 \\quad \\text{(2)}$\n\n→ So sánh với phát biểu của câu c:\nCâu c nói rằng:\n$5a + b = 20$\n→ Mâu thuẫn với kết quả ta vừa tìm được:\n$5a + b = 200$\n✅ Đáp án: “Sai” ❌"},{"label":"D","text":"Tổng quãng đường đi được của vật thể sau 10 phút đầu tiên là 8160 m.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVận tốc trong đoạn $0 \\le t \\le 6$:\n$v(t) = at^2 + bt + c$\n\nĐồ thị đi qua 3 điểm:\n$A(0,0) \\Rightarrow c = 0$\n\n$B(5, 1000)$\n\n$C(10, 0)$\n\nVận tốc giai đoạn 2 ($6 < t \\le 10$) là hằng số, chính là giá trị tại $v(6)$.\n\nCâu d cho rằng: Tổng quãng đường đi được trong 10 phút đầu là 8160 m\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần:\nLập phương trình parabol $v(t) = at^2 + bt$ thỏa 3 điểm.\n\nTính quãng đường:\n$S = \\int_0^6 v(t)\\,dt + \\int_6^{10} v(6)\\,dt$\n\nSo sánh tổng quãng đường với 8160 m.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n🔸 Bước 1: Thiết lập hệ phương trình từ đồ thị\nDo $v(t) = at^2 + bt$, thay các điểm vào:\n• $v(0) = 0 \\Rightarrow$ tự thỏa vì $c = 0$\n• $v(5) = 1000 \\Rightarrow 25a + 5b = 1000 \\quad \\text{(1)}$\n• $v(10) = 0 \\Rightarrow 100a + 10b = 0 \\quad \\text{(2)}$\nGiải hệ (1) và (2):\nTừ (2) ⇒ $10b = -100a \\Rightarrow b = -10a$\nThay vào (1):\n$25a + 5(-10a) = 1000 \\Rightarrow 25a - 50a = 1000 \\Rightarrow -25a = 1000 \\Rightarrow a = -40$\n⇒ $b = -10a = 400$\n→ Vậy ta có:\n$v(t) = -40t^2 + 400t$\n🔸 Bước 2: Tính vận tốc tại $t = 6$:\n$v(6) = -40 \\cdot 6^2 + 400 \\cdot 6 = -1440 + 2400 = 960$\n→ Giai đoạn 2 có vận tốc không đổi là 960 (m/phút)\n🔸 Bước 3: Tính quãng đường từ 0 đến 6:\n$S_1 = \\int_0^6 v(t)\\,dt = \\int_0^6 (-40t^2 + 400t)\\,dt = \\left[ -\\frac{40}{3}t^3 + 200t^2 \\right]_0^6$\n$= -\\frac{40}{3} \\cdot 216 + 200 \\cdot 36 = -2880 + 7200 = 4320 \\text{ (m)}$\n🔸 Bước 4: Tính quãng đường từ 6 đến 10:\n$S_2 = v(6) \\cdot (10 - 6) = 960 \\cdot 4 = 3840 \\text{ (m)}$\n🔸 Bước 5: Tổng quãng đường:\n$S = S_1 + S_2 = 4320 + 3840 = 8160 \\text{ (m)}$\n→ Trùng khớp với giả thiết đề bài\n✅ Đáp án: “Đúng” ✅"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1SPaFoxlRW-V4-5AIIx-imPcae13h-XfP_2025-07-21044337.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng của tích phân","bloomLevel":"analyze","tags":["vận-tốc","quãng-đường","tích-phân","hàm-số-chia-khoảng","ứng-dụng-thực-tế"]},{"id":17,"text":"Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB = 1, AD = \\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ và vuông góc với đáy. Số đo góc phẳng nhị diện $[S, BD, C]$ là $a^\\circ$. Tìm giá trị của $a$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"135","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật.\n\n$AB = 1$, $AD = \\sqrt{3}$\n\nCạnh bên $SA = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, và $SA \\perp (ABCD)$\n\nYêu cầu: Tính số đo góc phẳng nhị diện $[S, BD, C]$ là $a^\\circ$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm số đo góc nhị diện giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(BCD)$\n\nGiao tuyến chung của hai mặt phẳng là đường chéo $BD$ của hình chữ nhật\n\nTa cần tìm góc giữa hai mặt phẳng tại giao tuyến, chính là góc phẳng nhị diện\n\nSử dụng mặt phẳng phụ vuông góc với $BD$, cắt hai mặt phẳng theo hai đoạn thẳng đồng quy tạo thành góc\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$\n⇒ $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$\n\nDo $SA \\perp (ABCD)$ nên ta coi $SA$ là chiều cao, dựng đường thẳng $SO$ và xem góc giữa hai mặt phẳng là góc $\\widehat{SOA}$\n\nTa có tam giác vuông $SAO$ vuông tại $A$\n⇒ Góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(BCD)$ chính là góc $\\widehat{SOA}$\n\nTính độ dài đoạn $AO$:\nVì $AB = 1$, $AD = \\sqrt{3}$ ⇒ $AC = \\sqrt{AB^2 + AD^2} = \\sqrt{1 + 3} = 2$\n⇒ $AO = \\dfrac{1}{2} AC = 1$\n\nCó:\n$SA = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad AO = 1$\n⇒\n$\\tan(\\widehat{SOA}) = \\dfrac{SA}{AO} = \\dfrac{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}}{1} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n⇒ Suy ra $\\widehat{SOA} \\approx 41^\\circ$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{41^\\circ}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1I2yiGDqjnL-2EhN3ZExkkxHKkUEXyKET_2025-07-21044337.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"hai mặt phẳng vuông góc","bloomLevel":"analyze","tags":["góc-phẳng-nhị-diện","hình-chóp","đáy-hình-chữ-nhật","đường-cao","hệ-thức-lượng"]},{"id":18,"text":"Người ta làm một sân khấu có hình dạng hai hình tròn giao nhau như hình vẽ. Bán kính hai hình tròn lần lượt là 30 m và 40 m. Khoảng cách giữa tâm hai hình tròn là 50 m. Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn theo $m^2$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"664","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBán kính hai hình tròn lần lượt là: $R = 30\\ \\text{m}$ và $r = 40\\ \\text{m}$\n\nKhoảng cách giữa tâm hai hình tròn: $d = 50\\ \\text{m}$\n\nHình tròn nhỏ tâm $O(0;0)$, hình tròn lớn tâm $O'(0;50)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn.\n\nÁp dụng tích phân diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nPhương trình đường tròn tâm $O$ là:\n$x^2 + y^2 = 30^2 \\Rightarrow y = \\sqrt{30^2 - x^2},\\ (y > 0)$\n\nPhương trình đường tròn tâm $O'$ là:\n$x^2 + (y - 50)^2 = 40^2 \\Rightarrow y = -\\sqrt{40^2 - x^2} + 50,\\ (y < 50)$\n\nTìm hoành độ giao điểm của 2 đường cong:\n$\\sqrt{30^2 - x^2} = -\\sqrt{40^2 - x^2} + 50 \n\\Rightarrow \\sqrt{30^2 - x^2} + \\sqrt{40^2 - x^2} = 50$\nBình phương và giải ra ta được:\n$x^2 = 576 \\Rightarrow x = \\pm 24$\n\nDựng tích phân diện tích phần giao nhau:\n$S = \\int_{-24}^{24} \\left( \\sqrt{30^2 - x^2} - \\left( -\\sqrt{40^2 - x^2} + 50 \\right) \\right) dx \n= \\int_{-24}^{24} \\left( \\sqrt{30^2 - x^2} + \\sqrt{40^2 - x^2} - 50 \\right) dx$\n\nVì biểu thức đối xứng nên ta tính:\n$S = 2 \\int_{0}^{24} \\left( \\sqrt{30^2 - x^2} + \\sqrt{40^2 - x^2} - 50 \\right) dx$\n\nThực hiện tính toán (dùng máy tính hoặc phần mềm tích phân), ta được:\n$S \\approx 664.167$\n\n✅ Đáp án: $664\\ \\text{m}^2$ ✅","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1mS759Ekqavwa9GuVNp5PKhMRlF0TGil9_2025-07-21044337.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","bloomLevel":"apply","tags":["diện-tích-hình-tròn-giao-nhau","tích-phân","ứng-dụng-hình-học","công-thức-diện-tích-phần-giao"]},{"id":19,"text":"Một cơ quan hành chính nhà nước thực hiện việc tinh giản biên chế thông qua phỏng vấn. Tỷ lệ nhân viên của cơ quan thuộc hai nhóm trình độ: Đại học, Cao đẳng lần lượt là 65% và 35%. Qua phỏng vấn thì tỷ lệ nhân viên bị tinh giản của nhóm đại học là 10%, nhóm cao đẳng là 15%. Chọn một nhân viên bất kỳ đã bị tinh giản thì hãy tính xác suất để người này có trình độ đại học (kết quả là một số thập phân nhỏ hơn 1 đã làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"0,55","explanation":"📑 Thông tin đề bài cho:\nTỷ lệ nhân viên trình độ Đại học: 65%\n\nTỷ lệ nhân viên trình độ Cao đẳng: 35%\n\nTỷ lệ nhân viên bị tinh giản ở nhóm Đại học: 10%\n\nTỷ lệ nhân viên bị tinh giản ở nhóm Cao đẳng: 15%\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính xác suất để nhân viên đã bị tinh giản là người có trình độ Đại học.\n\nÁp dụng định lý Bayes để tìm:\n$P(\\text{Đại học} \\mid \\text{bị tinh giản})$\n\n🔍 Hướng dẫn cách làm:\nGọi các sự kiện:\n$A$: nhân viên có trình độ Đại học\n\n$B$: nhân viên bị tinh giản\n\nTa cần tính:\n$P(A \\mid B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)}$\n\nTính $P(A \\cap B)$:\n$P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B \\mid A) = 0.65 \\times 0.10 = 0.065$\n\nTính $P(B)$:\n$P(B) = P(A) \\cdot P(B \\mid A) + P(\\overline{A}) \\cdot P(B \\mid \\overline{A})$\n$P(B) = 0.65 \\times 0.10 + 0.35 \\times 0.15 = 0.065 + 0.0525 = 0.1175$\n\nÁp dụng định lý Bayes:\n$P(A \\mid B) = \\dfrac{0.065}{0.1175} \\approx 0.5532 \\approx 0.55$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{0{,}55}$","chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"xác suất có điều kiện","bloomLevel":"apply","tags":["xác-suất-có-điều-kiện","định-lý-Bayes","xác-suất","tỉ-lệ","tinh-giản-biên-chế"]},{"id":20,"text":"Trên mỗi cạnh của hình bên dưới, có ghi số phút để đi từ điểm này đến điểm kế tiếp. Tìm tổng thời gian ngắn nhất để di chuyển từ điểm $A$ đến điểm $D$ trên hình.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"25","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCác đỉnh: A, B, C, D, E, F, G.\n\nMỗi cạnh nối hai đỉnh có ghi thời gian di chuyển (tính bằng phút).\n\nYêu cầu tìm tổng thời gian ngắn nhất để đi từ A đến D.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐề bài yêu cầu tìm đường đi ngắn nhất từ điểm A đến điểm D.\n\nĐây là bài toán tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị (ứng dụng thuật toán Dijkstra hoặc thử từng đường đi).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa sẽ liệt kê các đường đi khả thi từ A đến D, sau đó tính tổng thời gian và chọn đường đi có tổng thời gian nhỏ nhất.\nCác đường đi khả thi từ A đến D:\nA → G → D: $13 + 18 = 31$\n\nA → F → G → D: $2 + 6 + 18 = 26$\n\nA → F → E → D: $2 + 13 + 11 = 26$\n\nA → F → G → E → D: $2 + 6 + 6 + 11 = 25$\n\nA → B → C → D: $4 + 18 + 10 = 32$\n\nA → B → G → D: $4 + 7 + 18 = 29$\n\nA → G → C → D: $13 + 9 + 10 = 32$\n\nA → F → G → C → D: $2 + 6 + 9 + 10 = 27$\n\nSo sánh tất cả các tổng thời gian:\n31, 26, 26, 25, 32, 29, 32, 27\n\n👉 Đường đi ngắn nhất: A → F → G → E → D với tổng thời gian $25$ phút.\n✅ Đáp án: $\\boxed{25}$ phút.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-tham-khao-tn-thpt-toan-tinh-lao-cai-2025-co-dap-an/1YKznSEe5vtdFcQb0h-qPtEzJqE4dMZFR_2025-07-21044337.png"],"chapter":"chuyên đề 2. làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị","topic":"bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản","bloomLevel":"apply","tags":["đường-đi-ngắn-nhất","đồ-thị","thời-gian","tối-ưu","thuật-toán"]},{"id":21,"text":"Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) được mô hình hóa bằng hàm số $f(t) = \\dfrac{24000}{1 + 6e^{-t}},\\ t \\ge 0$ trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt được khi $t = \\ln a$. Tìm $a$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"6","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số doanh số: $f(t) = \\dfrac{24000}{1 + 6e^{-t}},\\ t \\ge 0$\n\nTốc độ bán hàng chính là đạo hàm: $f'(t)$\n\nTốc độ bán hàng lớn nhất khi $t = \\ln a$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị của $a$ sao cho tốc độ bán hàng $f'(t)$ đạt cực đại tại $t = \\ln a$\n\nĐây là bài toán cực trị đạo hàm, cần tìm giá trị của $t$ để $f'(t)$ đạt max.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt: $u(t) = 1 + 6e^{-t} \\Rightarrow f(t) = \\dfrac{24000}{u(t)}$\n\nSử dụng đạo hàm: $(f(t))' = \\left( \\dfrac{24000}{u(t)} \\right)' = -24000 \\cdot \\dfrac{u'(t)}{u(t)^2}$\n\nTa tính:\n$u'(t) = (1 + 6e^{-t})' = -6e^{-t}$\n\n$\\Rightarrow f'(t) = \\dfrac{24000 \\cdot 6e^{-t}}{(1 + 6e^{-t})^2}$\n\nĐặt: $f'(t) = \\dfrac{144000 e^{-t}}{(1 + 6e^{-t})^2}$\n\nGọi biểu thức trên là tốc độ bán hàng, để tìm cực đại, ta xét đạo hàm cấp 2 hoặc đạo hàm của $f'(t)$ bằng 0.\n\nTa đặt $x = e^{-t} \\Rightarrow t = \\ln \\left(\\dfrac{1}{x} \\right) = -\\ln x$\n\nThay vào đạo hàm: $f'(t) = \\dfrac{144000x}{(1 + 6x)^2}$\n\n→ Tìm cực trị của hàm số: $g(x) = \\dfrac{144000x}{(1 + 6x)^2}$\nDùng đạo hàm:\n$g'(x) = \\dfrac{144000(1 + 6x)^2 - 144000x \\cdot 2(1 + 6x) \\cdot 6}{(1 + 6x)^4}$\n\nGiải phương trình $g'(x) = 0$ ta tìm được:\nTử số = 0 ⇔ $1 + 6x - 12x = 0 \\Rightarrow -6x + 1 = 0 \\Rightarrow x = \\dfrac{1}{6}$\n\n→ Khi đó $t = -\\ln x = -\\ln \\left( \\dfrac{1}{6} \\right) = \\ln 6$\n✅ Đáp án: $\\boxed{a = 6}$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"analyze","tags":["logistic","đạo-hàm","cực-đại-của-đạo-hàm","mô-hình-tăng-trưởng","tốc-độ-bán-hàng"]},{"id":22,"text":"Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;60;150)$ và $X(100;-40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30;-20)$ nằm dưới mặt đất tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a + b + c$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"687dc5808e58e040efe7da8e","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $T(40; 60; 150)$ là đỉnh tháp\n\nĐiểm $X(100; -40; 0)$ nằm trên mặt đất\n\nDây cáp chạy thẳng từ $X$ đến $T$\n\nĐiểm $A(40; 30; -20)$ nằm dưới hố\n\nTìm điểm $M(a; b; c) \\in TX$ sao cho $MA$ ngắn nhất\n\nTính giá trị $a + b + c$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm điểm $M \\in TX$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên đường thẳng $TX$\n\nDùng điều kiện: $\\vec{AM} \\perp \\vec{u}_{TX}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVector chỉ phương của đường thẳng $TX$ là:\n$\\vec{u}_{TX} = \\vec{T} - \\vec{X} = (40 - 100,\\ 60 - (-40),\\ 150 - 0) = (-60;\\ 100;\\ 150)$\n⇒ Ta lấy lại theo đúng hướng hình vẽ:\n$\\vec{u}_{TX} = (60;\\ -100;\\ -150)$\n\nPhương trình tham số đường thẳng $TX$ xuất phát từ điểm $T$:\n$\\begin{cases}\nx = 40 + 6t \\\\\ny = 60 - 10t \\\\\nz = 150 - 15t\n\\end{cases}$\n\nGọi điểm $M \\in TX$ có tọa độ:\n$M = (40 + 6t;\\ 60 - 10t;\\ 150 - 15t)$\n\nTính vector $\\vec{AM}$:\n$\\vec{AM} = \\vec{M} - \\vec{A} = (6t;\\ 30 - 10t;\\ 170 - 15t)$\n\nVì $\\vec{AM} \\perp \\vec{u}_{TX} = (6; -10; -15)$ nên:\n$\\vec{AM} \\cdot \\vec{u}_{TX} = 0$\n$6 \\cdot 6t + (-10)(30 - 10t) + (-15)(170 - 15t) = 0$\n$\\Rightarrow 36t - 300 + 100t - 2550 + 225t = 0$\n$\\Rightarrow (36t + 100t + 225t) - 2850 = 0\n\\Rightarrow 361t = 2850\n\\Rightarrow t = \\frac{150}{19}$\n\nThay $t = \\frac{150}{19}$ vào tọa độ điểm $M$:\n$a = 40 + 6t = 40 + \\frac{900}{19} = \\frac{760 + 900}{19} = \\frac{1660}{19}$\n$b = 60 - 10t = 60 - \\frac{1500}{19} = \\frac{1140 - 1500}{19} = \\frac{-360}{19}$\n$c = 150 - 15t = 150 - \\frac{2250}{19} = \\frac{2850 - 2250}{19} = \\frac{600}{19}$\n\nTổng:\n$a + b + c = \\frac{1660 - 360 + 600}{19} = \\frac{1900}{19} = 100$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{100}$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["khoảng-cách-từ-điểm-đến-đường-thẳng","hình-chiếu-vuông-góc","tọa-độ-không-gian","tối-ưu"]}],"mindmap":"# Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Lào Cai năm 2025\n## Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số\n### ⭐ Tính đơn điệu và cực trị của hàm số — Câu 1\n### ⭐⭐⭐⭐ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số — Câu 7, Câu 13, Câu 21\n### ⭐ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số — Câu 9\n## Nguyên hàm và tích phân\n### ⭐ Nguyên hàm — Câu 2\n### ⭐⭐ Tích phân — Câu 4\n### ⭐⭐⭐⭐ Ứng dụng của tích phân — Câu 16\n### ⭐⭐⭐ Ứng dụng hình học của tích phân — Câu 18\n## Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm\n### ⭐ Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị — Câu 3\n## Phương pháp tọa độ trong không gian\n### ⭐ Phương trình mặt phẳng — Câu 5\n### ⭐ Phương trình mặt cầu — Câu 12\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 15\n## Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 6, Câu 22\n## Hàm số mũ và hàm số lôgarit\n### ⭐⭐ Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit — Câu 8\n## Quan hệ vuông góc trong không gian\n### ⭐⭐ Thể tích — Câu 10\n### ⭐⭐⭐⭐ Hai mặt phẳng vuông góc — Câu 17\n## Dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân\n### ⭐ Cấp số nhân — Câu 11\n## Xác suất có điều kiện\n### ⭐⭐⭐ Xác suất có điều kiện — Câu 14, Câu 19\n## Chuyên đề 2. làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị\n### ⭐⭐⭐ Bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản — Câu 20","analysis":"## 📖 Hiểu đề\n\n- Đề này kiểm tra **khả năng vận dụng công thức, giải bài toán hình học không gian, xác suất và ứng dụng đạo hàm/tích phân trong các bài toán thực tế**. Mục tiêu cốt lõi là đánh giá kỹ năng tính toán, suy luận và xử lý tình huống với các công thức, định lý đã học (đạo hàm, tích phân, tọa độ không gian, xác suất, dãy số).\n- Phong cách ra đề **nặng tính vận dụng và giải quyết vấn đề**, kết hợp nhiều chủ đề. Có sự đan xen giữa tính toán trực tiếp (nhận biết, thông hiểu) và bài toán tổng hợp, đòi hỏi nhiều bước suy luận (vận dụng, vận dụng cao). Nhiều câu có bối cảnh thực tế (nước sạch, thuốc, doanh số, dây cáp).\n- Kiến thức nền xuyên suốt là **các công thức cơ bản về đạo hàm, tích phân, tọa độ trong không gian, xác suất có điều kiện và dãy số**, cùng kỹ năng **đọc hiểu đề bài, trích xuất thông tin từ bảng/biểu đồ/hình vẽ và biến đổi, rút ra kết luận**.\n\n## 🔍 Phân tích đề\n\n**1. Cấu trúc đề** — 12 câu trắc nghiệm + 4 câu Đúng-Sai (mỗi câu 4 ý a/b/c/d) + 6 câu trả lời ngắn = 22 câu.\n\n**2. Chủ đề trọng tâm** — \n- **Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số** (cực trị, giá trị lớn/nhất, tiệm cận): 5 câu (1, 7, 9, 13, 21).\n- **Phương pháp tọa độ trong không gian & bài tập tổng hợp** (phương trình mặt phẳng/cầu, vectơ, thể tích, đường đi tối ưu): 4 câu (5, 15, 20, 22).\n- **Nguyên hàm và tích phân** (tính nguyên hàm, tích phân xác định, ứng dụng tích phân): 4 câu (2, 4, 16, 18).\n- **Xác suất có điều kiện**: 3 câu (14, 19, phần trong câu 14).\n\n**3. Độ khó** — \n- **Phần nhận biết (dễ)**: Câu 1, 2, 5, 9, 11, 12. Chủ yếu dùng trực tiếp định nghĩa, công thức cơ bản (đạo hàm, nguyên hàm, vectơ pháp tuyến, cấp số nhân, bán kính mặt cầu). Phân hóa thấp.\n- **Phần thông hiểu (trung bình)**: Câu 3, 4, 6, 8, 10. Yêu cầu hiểu và áp dụng công thức vào tình huống cụ thể (khoảng biến thiện, tích phân xác định qua giá trị nguyên hàm, góc giữa vectơ, bất phương trình log, thể tích khối chóp). Có phân hóa nhẹ.\n- **Phần vận dụng & vận dụng cao (khó)**: Câu 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22. Đây là phần phân hóa chính. Yêu cầu kết hợp nhiều kiến thức, suy luận nhiều bước, xử lý dữ liệu từ đề bài (đồ thị, bảng, hình vẽ), giải bài toán tổng hợp (cực trị hàm số ứng dụng, xác suất có điều kiện tổng hợp, tọa độ không gian kết hợp hình học, tối ưu đường đi, ứng dụng tích phân tính diện tích, tối ưu khoảng cách). Các khái niệm, công thức cốt lõi xuất hiện nhiều: **đạo hàm (cực trị, tiệm cận), tích phân xác định, tọa độ không gian (trung điểm, vectơ, mặt cầu, khoảng cách), xác suất có điều kiện, công thức thể tích/diện tích**."}