{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2026 - Mã đề 13","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6983718eccff64bb1265af70","section":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6983718eccff64bb1265af71","section":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6983718eccff64bb1265af72","section":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng\n $(P):2x-y+z+3=0$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$\\vec n_1=(2;-1;1)$","correct":true,"reason":"Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ax+by+cz+d=0$ là $(a;b;c)$, với phương trình $2x-y+z+3=0$ ta có $(2;-1;1)$."},{"label":"B","text":"$\\vec n_2=(2;1;1)$","correct":false,"reason":"Sai dấu thành phần $y$, lẽ ra phải là $-1$ chứ không phải $1$."},{"label":"C","text":"$\\vec n_3=(2;-1;3)$","correct":false,"reason":"Nhầm hằng số $d=3$ vào thành phần tọa độ thứ ba, vectơ pháp tuyến không chứa $d$."},{"label":"D","text":"$\\vec n_4=(-1;1;3)$","correct":false,"reason":"Không tỉ lệ với bộ hệ số $(2;-1;1)$, thành phần $x$ sai dấu và thành phần $z$ sai giá trị."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0.$\n\nCác lựa chọn vectơ:\nA. $ \\vec n_1=(2;-1;1) $\n\nB. $ \\vec n_2=(2;1,1) $\n\nC. $ \\vec n_3=(2;-1;3) $\n\nD. $ \\vec n_4=(-1;1;3) $\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$\n\nVới mặt phẳng dạng $ax+by+cz+d=0$ thì một vectơ pháp tuyến là $ \\vec n=(a;b;c). $\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSo sánh phương trình $2x - y + z + 3 = 0$ với dạng chuẩn $ax+by+cz+d=0$, ta có: $ a=2; b=-1; c=1. $\n\nVậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: $ \\vec {n}=(2;-1;1). $\n\nĐối chiếu các đáp án, vectơ này đúng với phương án A.\n\n✅ Đáp án: A. $ \\vec{n}=(2;-1;1). $","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","bloomLevel":"remember","tags":["vecto-phap-tuyen","phuong-trinh-mat-phang","toa-do-khong-gian","mat-phang"]},{"id":2,"text":"Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho có điểm cực đại là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$(0;3)$","correct":true,"reason":"Tại $x=0$, đạo hàm $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm (từ $+$ trên $(-2;0)$ sang $-$ trên $(0;2)$) nên đây là điểm cực đại. Tọa độ điểm cực đại là $(0; f(0)) = (0; 3)$."},{"label":"B","text":"$x=0$","correct":false,"reason":"$x=0$ chỉ là hoành độ của điểm cực đại, không phải là tọa độ điểm. Điểm cực đại phải biểu diễn dưới dạng cặp tọa độ $(x_0; f(x_0))$."},{"label":"C","text":"$y=3$","correct":false,"reason":"$y=3$ chỉ là giá trị cực đại (tung độ), không phải là điểm cực đại. Điểm cực đại phải là cặp tọa độ $(x; y)$ chứ không chỉ là một giá trị."},{"label":"D","text":"$y=1$","correct":false,"reason":"$y=1$ là giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu $x=-2$ và $x=2$ (vì $f(-2)=f(2)=1$), không phải giá trị cực đại."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng biến thiên cho các mốc: $x:-\\infty;-2;0;2;+\\infty.$\n\nDấu của đạo hàm:\n$f'(x)<0$ trên $(-\\infty,-2),f^{\\prime}(-2)=0$\n\n$f'(x)>0$ trên $(-2,0),f^{\\prime}(0)=0$\n\n$f'(x)<0$ trên $(0,2),f^{\\prime}(2)=0$\n\n$f'(x)>0$ trên $(2,+\\infty)$\n\nGiá trị hàm số tại các điểm đặc biệt (đọc từ bảng):\n$f(-2)=1,\\quad f(0)=3,\\quad f(2)=1.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm điểm cực đại của hàm số (tọa độ dạng $(x_0,f(x_0)$).\n\nKiến thức dùng:\nNếu $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhìn dấu $f'(x)$ quanh $x=0$:\nTrên $(-2,0)$ thì $f'(x)>0$ (hàm tăng)\n\nTrên $(0,2)$ thì $f'(x)<0$ (hàm giảm)\n\nVậy $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực đại.\n\nTừ bảng, giá trị tại đó là $f(0)=3$, nên điểm cực đại là $(0;3)$.\n\n✅ Đáp án: A. $(0;3).$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1pC2DSdaiNvY3jZqZ0T1xEhxPicjgE1Qx_2026-02-04161916.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"remember","tags":["cuc-tri","bang-bien-thien","diem-cuc-dai","ham-so"]},{"id":3,"text":"Thống kê điểm kiểm tra giữa kỳ $1$ môn Toán của $30$ học sinh lớp $12C1$ của một trường THPT được ghi lại ở bảng sau: Trung vị của mẫu số liệu gốc thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$[2;4)$","correct":false,"reason":"Khoảng $[2;4)$ chỉ chứa $4$ giá trị đầu tiên (vị trí $1$ đến $4$), trong khi trung vị của mẫu $n=30$ cần xét vị trí thứ $15$ và $16$ nên không thuộc khoảng này."},{"label":"B","text":"$[4;6)$","correct":false,"reason":"Tần số tích lũy đến hết khoảng $[4;6)$ là $12$, nghĩa là chỉ chứa các vị trí từ $5$ đến $12$, chưa đạt đến vị trí $15$ và $16$ của trung vị."},{"label":"C","text":"$[6;8)$","correct":true,"reason":"Với $n=30$ chẵn, trung vị nằm giữa vị trí thứ $15$ và $16$; tần số tích lũy đến hết khoảng $[6;8)$ là $23$ (bao gồm vị trí $13$ đến $23$), nên cả hai vị trí $15$ và $16$ đều thuộc khoảng này."},{"label":"D","text":"$[8;10)$","correct":false,"reason":"Khoảng $[8;10)$ chứa các vị trí từ $24$ đến $30$, trong khi trung vị cần vị trí $15$ và $16$ nằm trước đó (thuộc khoảng $[6;8)$) nên không thuộc khoảng này."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó $30$ học sinh.\n\nBảng tần số theo khoảng điểm:\n$[2;4);4$ học sinh\n\n$[4;6);8$ học sinh\n\n$[6;8);11$ học sinh\n\n$[8;10);7$ học sinh\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi trung vị của mẫu số liệu gốc nằm trong khoảng nào.\n\nKiến thức cần dùng:\nVới $n=30$ (chẵn) thì trung vị nằm giữa giá trị thứ 15 và thứ 16 khi sắp xếp tăng dần.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tần số tích lũy (cộng dồn) để xem giá trị thứ $15,16$ rơi vào nhóm nào:\nĐến $[2;4)$: có $4$ bạn $\\Rightarrow$ vị trí $1 \\to 4$\n\nĐến $[4;6)$: có $4+8=12$ bạn $ \\Rightarrow $vị trí $5 \\to 12$\n\nĐến $[6;8)$: có $12+11=23$ bạn $ \\Rightarrow $ vị trí $13 \\to 23$\n\nĐến $[8;10)$: có $23+7=30$ bạn $ \\Rightarrow $ vị trí $24 \\to 30$\n\nVì vị trí $15$ và $16$ nằm trong đoạn $13 \\to 23$ nên trung vị thuộc khoảng $[6;8)$.\n\n✅ Đáp án: C. $[6;8).$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1RUEmD5xmtNUDDD6K0fYvyJudXtrXVNU2_2026-02-04161919.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"các số đặc trưng đo xu thế trung tâm","bloomLevel":"understand","tags":["trung-vi","so-lieu-ghep-nhom","thong-ke","tan-so"]},{"id":4,"text":"Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Đặt $ \\overrightarrow{AA'}=\\vec{a},\\overrightarrow{AB}=\\vec{b},\\overrightarrow{AC}=\\vec{c},\\overrightarrow{BC}=\\vec{d} $ . Trong các biểu thức vectơ sau đây thì biểu thức nào là đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$\\vec a=\\vec b+\\vec c$","correct":false,"reason":"$\\vec{a}=\\overrightarrow{AA'}$ là vectơ cạnh bên, còn $\\vec{b}+\\vec{c}=\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{AC}$ không bằng $\\vec{a}$ trong hình lăng trụ tổng quát."},{"label":"B","text":"$\\vec a+\\vec b+\\vec c+\\vec d=\\vec 0$","correct":false,"reason":"Vì $\\vec{b}+\\vec{d}=\\vec{c}$ (theo quy tắc tam giác), thay vào biểu thức ta được $\\vec{a}+2\\vec{c}=\\vec{0}$, điều này không đúng."},{"label":"C","text":"$\\vec b-\\vec c+\\vec d=\\vec 0$","correct":true,"reason":"Theo quy tắc cộng vectơ trong tam giác $ABC$ ta có $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AC}$, tức là $\\vec{b}+\\vec{d}=\\vec{c}$. Chuyển vế ta được $\\vec{b}-\\vec{c}+\\vec{d}=\\vec{0}$."},{"label":"D","text":"$\\vec a+\\vec b+\\vec c=\\vec d$","correct":false,"reason":"Ta có $\\vec{d}=\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AC}-\\overrightarrow{AB}=\\vec{c}-\\vec{b}$. Thay vào đẳng thức ta được $\\vec{a}+\\vec{b}+\\vec{c}=\\vec{c}-\\vec{b}$, suy ra $\\vec{a}+2\\vec{b}=\\vec{0}$ không đúng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'.$\n\nCác vectơ được đặt:\n$\\overrightarrow{AA'}=\\vec a$\n\n$\\overrightarrow{AB}=\\vec b$\n\n$\\overrightarrow{AC}=\\vec c$\n\n$\\overrightarrow{BC}=\\vec d$\n\nCác lựa chọn:\nA. $\\vec a=\\vec b+\\vec c$\n\nB. $\\vec a+\\vec b+\\vec c+\\vec d=\\vec 0$\n\nC. $\\vec b-\\vec c+\\vec d=\\vec 0$\n\nD. $\\vec a+\\vec b+\\vec c=\\vec d$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nChọn biểu thức vectơ đúng.\n\nKiến thức cần dùng: Trong tam giác $ABC$ ta có quy tắc cộng vectơ theo đường gấp khúc:\n$\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AC}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng quy tắc trong tam giác $ABC$: $\\overrightarrow{AB}+\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{AC}.$\n\nThay theo kí hiệu đề bài: $\\vec b+\\vec d=\\vec c.$\n\nChuyển vế để đưa về dạng bằng $\\vec 0$: $\\vec b-\\vec c+\\vec d=\\vec 0.$\n\nSo sánh với các đáp án, biểu thức này đúng với phương án C.\n\n✅ Đáp án: C. $\\vec b-\\vec c+\\vec d=\\vec 0.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1DcXbBHkwzVe4QDabJX5K5tMPqdlQqRcK_2026-02-04161919.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","bloomLevel":"understand","tags":["vecto","lang-tru","bieu-thuc-vecto","hinh-hoc-khong-gian"]},{"id":5,"text":"Với mọi số thực dương $a$ thì $\\log_3(27a)-\\log_3 a$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$\\log_3(26a)$","correct":false,"reason":"Phương án A sai do nhầm lẫn tính chất hiệu logarit $\\log x - \\log y = \\log\\frac{x}{y}$ với $\\log(x-y)$, dẫn đến kết quả $\\log_3(26a)$."},{"label":"B","text":"$9$","correct":false,"reason":"Phương án B sai vì $\\log_3(27)=3$ chứ không phải $9$; có thể do nhầm lẫn giữa logarit và luỹ thừa ($3^2=9$)."},{"label":"C","text":"$3$","correct":true,"reason":"Phương án C đúng vì $\\log_3(27a)-\\log_3 a=\\log_3\\left(\\frac{27a}{a}\\right)=\\log_3(27)=3$."},{"label":"D","text":"$3-2\\log_3 a$","correct":false,"reason":"Phương án D sai do áp dụng nhầm tính chất $\\log_b(xy)=\\log_b x+\\log_b y$ thành $\\log_b x-\\log_b y$, dẫn đến $(3-\\log_3 a)-\\log_3 a=3-2\\log_3 a$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$a>0.$\n\nBiểu thức cần tính: $\\log_3(27a)-\\log_3 a.$\n\nCác đáp án:\nA. $\\log_3(26a)$ ; B. $9$ ; C. $3$ ; D. $3-2\\log_3 a$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Rút gọn giá trị của $\\log_3(27a)-\\log_3 a.$\n\nKiến thức cần dùng:\n$\\log_b(xy)=\\log_b x+\\log_b y$\n\n$\\log_b x-\\log_b y=\\log_b\\left(\\frac{x}{y}\\right)$\n\n$27=3^3 \\Rightarrow \\log_3 27=3$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGộp hiệu hai logarit:$\\log_3(27a)-\\log_3 a=\\log_3\\left(\\frac{27a}{a}\\right).$\n\nRút gọn trong ngoặc (vì $a>0$ nên chia được): $\\log_3\\left(\\frac{27a}{a}\\right)=\\log_3(27).$\n\nTính $\\log_3(27)$ vì $27=3^3$: $\\log_3(27)=\\log_3(3^3)=3.$\n\n✅ Đáp án: C. $3.$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"lôgarit","bloomLevel":"remember","tags":["logarit","tinh-chat-logarit","rut-gon","bieu-thuc-logarit"]},{"id":6,"text":"Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):\\dfrac{x}{2}+\\dfrac{y}{3}+\\dfrac{z}{-2}=1$ có một vectơ pháp tuyến là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$\\vec n=(2;3;2)$","correct":false,"reason":"Sai: Đây là bộ hệ số lấy từ mẫu số của phương trình ban đầu ($2;3;2$) nhưng chưa khử mẫu và dấu của $z$ bị sai."},{"label":"B","text":"$\\vec n=(3;2;3)$","correct":false,"reason":"Sai: Hệ số $z$ là $3$ thay vì $-3$ sau khi khử mẫu phương trình."},{"label":"C","text":"$\\vec n=(2;3;-2)$","correct":false,"reason":"Sai: Hệ số $x$ và $y$ lấy từ mẫu số ban đầu, chưa nhân với BCNN để khử mẫu."},{"label":"D","text":"$\\vec n=(3;2;-3)$","correct":true,"reason":"Đúng: Phương trình $(P)$ sau khi khử mẫu là $3x+2y-3z-6=0$, vectơ pháp tuyến là $(3;2;-3)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt phẳng $(P):; \\frac{x}{2}+\\frac{y}{3}+\\frac{z}{-2}=1.$\n\nCác đáp án:\nA. $\\vec n=(2;,3;,2)$\n\nB. $\\vec n=(3;,2;,3)$\n\nC. $\\vec n=(2;,3;,-2)$\n\nD. $\\vec n=(3;,2;,-3)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$\n\nKiến thức cần dùng:\nĐưa phương trình về dạng $ax+by+cz+d=0$ thì vectơ pháp tuyến là $\\vec n=(a;,b;,c).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nKhử mẫu bằng cách nhân cả hai vế với $6$ (BCNN của $2,3,2$):\n$6\\left(\\frac{x}{2}+\\frac{y}{3}+\\frac{z}{-2}\\right)=6\\cdot 1.$\n\nRút gọn: $3x+2y-3z=6.$\n\nChuyển về dạng chuẩn: $3x+2y-3z-6=0.$\n\nVậy một vectơ pháp tuyến là: $\\vec n=(3;,2;,-3).$\n\nĐối chiếu đáp án: chọn D.\n\n✅ Đáp án: D. $\\vec n=(3;,2;,-3).$","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình mặt phẳng","bloomLevel":"understand","tags":["vecto-phap-tuyen","phuong-trinh-doan-chan","toa-do-khong-gian","mat-phang"]},{"id":7,"text":"Nếu $\\int_{-1}^{2} f(x)dx=5$ thì $\\int_{-1}^{2}4f(x)dx$ bằng:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$20$","correct":true,"reason":"Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân $\\int_a^b kf(x)\\,dx = k\\int_a^b f(x)\\,dx$, ta có $\\int_{-1}^{2}4f(x)\\,dx = 4\\cdot\\int_{-1}^{2}f(x)\\,dx = 4\\cdot 5 = 20$."},{"label":"B","text":"$10$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm lẫn hệ số $4$ thành $2$ hoặc thực hiện phép cộng không đúng, dẫn đến kết quả $10$ thay vì $4\\cdot 5$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{5}{2}$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm phép nhân hằng số $4$ thành phép chia cho $2$, tính $\\dfrac{5}{2}$ thay vì $4\\cdot 5$."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{5}{4}$","correct":false,"reason":"Sai vì nhầm phép nhân hằng số $4$ thành phép chia cho $4$, tính $\\dfrac{5}{4}$ thay vì $4\\cdot 5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBiết $\\int_{-1}^{2} f(x),dx = 5.$\n\nCần tính $\\int_{-1}^{2} 4f(x),dx.$\n\nCác đáp án: A. $20$; B. $10$; C. $\\frac{5}{2}$; D. $\\frac{5}{4}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tính tích phân của $4f(x)$ trên cùng khoảng $[-1,2].$\n\nKiến thức cần dùng: tính chất nhân hằng số với tích phân:\n$\\int_a^b kf(x),dx = k\\int_a^b f(x),dx.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng tính chất đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân: $\\int_{-1}^{2} 4f(x),dx = 4\\int_{-1}^{2} f(x),dx.$\n\nThay giá trị đã cho: $4\\int_{-1}^{2} f(x),dx = 4\\cdot 5 = 20.$\n\n✅ Đáp án: A. $20.$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"tích phân","bloomLevel":"remember","tags":["tich-phan","tinh-chat-tich-phan","hang-so","tich-phan-xac-dinh"]},{"id":8,"text":"Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=2;,u_{n+1}=3u_n,\\ \\forall n\\in\\mathbb{N}^*$. Giá trị của $u_3$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$6$","correct":false,"reason":"Đây là giá trị của $u_2=3\\cdot 2=6$, chứ không phải $u_3$. Học sinh có thể dừng lại ở bước tính $u_2$ và chọn nhầm đáp án này."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{3}{2}$","correct":false,"reason":"Giá trị này sai do áp dụng sai công thức, có thể do nhầm $u_{n+1}=\\frac{u_n}{3}$ hoặc tính $\\frac{3}{u_1}$ thay vì $3u_1$."},{"label":"C","text":"$18$","correct":true,"reason":"Đúng. Ta có $u_2=3u_1=3\\cdot 2=6$ và $u_3=3u_2=3\\cdot 6=18$ theo công thức truy hồi của cấp số nhân."},{"label":"D","text":"$12$","correct":false,"reason":"Giá trị này có thể do nhầm lẫn khi tính $u_3=2u_2=12$ (dùng công bội $q=2$ thay vì $q=3$) hoặc nhân $u_1\\cdot u_2=2\\cdot 6=12$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nDãy số $(u_n)$ thỏa mãn:\n$u_1=2$\n\n$u_{n+1}=3u_n\\quad (\\forall n\\in \\mathbb{N}^*)$\n\nCần tìm $u_3.$\n\nCác đáp án: A. $6$; B. $\\frac{3}{2}$; C. $18$; D. $12$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tính giá trị của số hạng thứ 3, tức là dùng công thức truy hồi để tính lần lượt $u_2, u_3.$\n\nKiến thức cần dùng: dãy truy hồi dạng $u_{n+1}=q,u_n$ là cấp số nhân với công bội $q=3.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính $u_2$ từ $u_1$:\n$u_2=3u_1=3\\cdot 2=6.$\n\nTính $u_3$ từ $u_2$:\n$u_3=3u_2=3\\cdot 6=18.$\n\n✅ Đáp án: C. $18.$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","bloomLevel":"understand","tags":["cap-so-nhan","so-hang","day-so","cong-boi"]},{"id":9,"text":"Hàm số $y=\\sqrt{-x^2+2x}$ đồng biến trên khoảng nào?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$(0;1)$","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(0;1)$, đạo hàm $y' = \\frac{1-x}{\\sqrt{-x^2+2x}} > 0$ vì $1-x > 0$ và mẫu số dương, do đó hàm số đồng biến."},{"label":"B","text":"$(1;2)$","correct":false,"reason":"Trên $(1;2)$ ta có $1-x < 0$ nên $y' < 0$, vậy hàm số nghịch biến chứ không đồng biến."},{"label":"C","text":"$(-\\infty;0)$","correct":false,"reason":"Khoảng $(-\\infty;0)$ nằm ngoài tập xác định $[0;2]$ vì khi $x<0$ thì $-x^2+2x < 0$, không thỏa mãn điều kiện căn bậc hai."},{"label":"D","text":"$(2;+\\infty)$","correct":false,"reason":"Khoảng $(2;+\\infty)$ nằm ngoài tập xác định $[0;2]$ vì khi $x>2$ thì $-x^2+2x < 0$, biểu thức trong căn âm nên hàm số không xác định."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\sqrt{-x^2+2x}.$\n\nCác khoảng lựa chọn:\nA. $(0;1)$\n\nB. $(1;2)$\n\nC. $(-\\infty;0)$\n\nD. $(2;+\\infty)$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tìm khoảng mà hàm số đồng biến.\n\nKiến thức cần dùng:\nĐiều kiện xác định của căn bậc hai: biểu thức trong căn $\\ge 0$.\n\nXét dấu đạo hàm $y'$ để biết hàm đồng biến/nghịch biến.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tìm tập xác định: $-x^2+2x\\ge0\\Longleftrightarrow x(2-x)\\ge0\\Longleftrightarrow x\\in[0,2].$\n\nBước 2: Tính đạo hàm trên khoảng xác định $(0,2)$:\n$y=\\left(-x^2+2x\\right)^{\\frac12}$\n$y'=\\frac{1}{2\\sqrt{-x^2+2x}}\\cdot(-2x+2)=\\frac{1-x}{\\sqrt{-x^2+2x}}.$\n\nBước 3: Xét dấu $y'$:\nTrên $(0,2)$ thì $\\sqrt{-x^2+2x}>0$ nên dấu của $y'$ phụ thuộc vào $1-x$.\n\n$y'>0 \\Longleftrightarrow 1-x>0 \\Longleftrightarrow x<1.$\n\nVậy hàm số đồng biến trên: $(0,1).$\n\n✅ Đáp án: A. $(0;1).$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["dong-bien","dao-ham","ham-so-can","khao-sat-ham-so"]},{"id":10,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{x^2-3x+4}{x+1}$. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$y=1$","correct":false,"reason":"Đây là dạng tiệm cận ngang, nhưng do bậc tử số ($2$) lớn hơn bậc mẫu số ($1$) nên đồ thị không có tiệm cận ngang mà có tiệm cận xiên."},{"label":"B","text":"$x=-1$","correct":true,"reason":"Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng $0$ và tử số khác $0$; tại $x=-1$ thì $x+1=0$ và $(-1)^2-3(-1)+4=8 \\ne 0$, nên đây là tiệm cận đứng."},{"label":"C","text":"$x=1$","correct":false,"reason":"Giá trị $x=1$ không làm mẫu số $x+1$ bằng $0$ ($1+1=2 \\ne 0$), do đó không thỏa mãn điều kiện của tiệm cận đứng."},{"label":"D","text":"$y=-1$","correct":false,"reason":"Đây là dạng tiệm cận ngang, nhưng hàm số không có tiệm cận ngang $y=-1$ vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu; tiệm cận xiên thực tế là $y=x-4$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\frac{x^2-3x+4}{x+1}.$\n\nCác đáp án:\nA. $y=1$\n\nB. $x=-1$\n\nC. $x=1$\n\nD. $y=-1$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tìm tiệm cận đứng của đồ thị.\n\nKiến thức cần dùng:\nTiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số $=0$ và tử số $\\ne 0$ tại điểm đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTìm điểm làm mẫu số bằng 0: $x+1=0 \\Longleftrightarrow x=-1.$\n\nKiểm tra tử số tại $x=-1$:\n$(-1)^2-3(-1)+4=1+3+4=8\\ne 0.$\n\nVậy tại $x=-1$, hàm số không xác định và có tiệm cận đứng.\n\n✅ Đáp án: B. $x=-1.$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","bloomLevel":"remember","tags":["tiem-can-dung","ham-phan-thuc","tiem-can","khao-sat-ham-so"]},{"id":11,"text":"Bạn An rất thích nhảy hiện đại. Thời gian tập nhảy mỗi ngày của bạn An được thống kê lại ở bảng sau: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$31,25$","correct":false,"reason":"Giá trị $31,25$ chính là phương sai $s^2$ của mẫu số liệu, không phải độ lệch chuẩn. Đề bài yêu cầu tính độ lệch chuẩn $s=\\sqrt{s^2}$ nên phải lấy căn bậc hai của $31,25$."},{"label":"B","text":"$31,26$","correct":false,"reason":"Giá trị $31,26$ xấp xỉ phương sai $s^2\\approx 31,25$, nhưng độ lệch chuẩn phải là $s=\\sqrt{31,25}\\approx 5,59$, không phải giá trị phương sai."},{"label":"C","text":"$5,4$","correct":false,"reason":"Giá trị $5,4$ sai do làm tròn không chính xác hoặc tính toán lỗi; giá trị đúng là $s=\\sqrt{31,25}\\approx 5,59$, gần với $5,6$ hơn là $5,4$."},{"label":"D","text":"$5,6$","correct":true,"reason":"Đúng. Độ lệch chuẩn $s=\\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum n_i(x_i-\\bar{x})^2}=\\sqrt{31,25}\\approx 5,59$, làm tròn một chữ số thập phân được $5,6$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng ghép nhóm thời gian (phút) và số ngày:\n$[20;25);6$ ngày\n\n$[25;30);6$ ngày\n\n$[30;35);4$ ngày\n\n$[35;40);1$ ngày\n\n$[40;45);1$ ngày\n\nTổng số ngày: $n=6+6+4+1+1=18.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và chọn giá trị gần nhất.\n\nKiến thức cần dùng (dùng điểm giữa lớp):\nĐiểm giữa mỗi lớp: $x_i=\\frac{a_i+b_i}{2}$\n\nTrung bình: $\\overline{x}=\\frac{1}{n}\\sum n_i x_i$\n\nĐộ lệch chuẩn: $s=\\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum n_i(x_i-\\overline{x})^2}$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính điểm giữa các lớp: $x_1=22.5;x_2=27.5;x_3=32.5;x_4=37.5;x_5=42.5.$\n\nTính trung bình:$\\overline{x}=\\frac{6\\cdot22.5+6\\cdot27.5+4\\cdot32.5+1\\cdot37.5+1\\cdot42.5}{18}=\\frac{510}{18}\\approx 28.33.$\n\nTính phương sai:\n$s^2=\\frac{1}{18}\\Big(6(22.5-28.33)^2+6(27.5-28.33)^2+4(32.5-28.33)^2+1(37.5-28.33)^2+1(42.5-28.33)^2\\Big)\\approx31.25.$\n\nSuy ra độ lệch chuẩn: $s=\\sqrt{31.25}\\approx 5.59.$\n\nSo với đáp án, $5.59$ gần $5.6$ nhất.\n\n✅ Đáp án: D. $5,6.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1_VAw-g2JOkr_6qA8deQDFPi7LKnSMAqp_2026-02-04161920.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"phương sai và độ lệch chuẩn","bloomLevel":"understand","tags":["do-lech-chuan","phuong-sai","so-lieu-ghep-nhom","thong-ke"]},{"id":12,"text":"Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$.","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983718eccff64bb1265af70","options":[{"label":"A","text":"$33$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu cả hệ số $\\pi$ và chưa chia cho $5$; đây có thể là kết quả của việc tính $\\int_0^3 (x-2)^4 dx$ nhưng nhầm lẫn trong phép tính giá trị tuyệt đối hoặc quên chia cho $5$ khi áp dụng nguyên hàm."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{33}{5}$","correct":false,"reason":"Sai vì thiếu hệ số $\\pi$ trong công thức thể tích; đây chỉ là giá trị của tích phân $\\int_0^3 (x-2)^4 dx = \\frac{33}{5}$ mà chưa nhân với $\\pi$ theo công thức $V=\\pi\\int_a^b [f(x)]^2 dx$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{33\\pi}{5}$","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng công thức đĩa tròn $V=\\pi\\int_0^3 [(x-2)^2]^2 dx = \\pi\\int_0^3 (x-2)^4 dx = \\pi\\left[\\frac{(x-2)^5}{5}\\right]_0^3 = \\frac{33\\pi}{5}$."},{"label":"D","text":"$33\\pi$","correct":false,"reason":"Sai vì quên chia cho $5$ khi tính nguyên hàm; giá trị $33\\pi$ là kết quả của $\\pi\\left[(x-2)^5\\right]_0^3$ mà không chia cho $5$ trong công thức $\\int (x-2)^4 dx = \\frac{(x-2)^5}{5}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị: $y=x^2-4x+4=(x-2)^2.$\n\nMiền phẳng $(H)$ được giới hạn bởi:\nTrục tung $x=0$\n\nTrục hoành $y=0$\n\nĐường thẳng $x=3$\n\nĐồ thị $y=(x-2)^2$\n\nQuay hình $(H)$ quanh trục $Ox$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: tính thể tích khối tròn xoay khi quay miền $(H)$ quanh trục $Ox$.\n\nKiến thức cần dùng: phương pháp “đĩa tròn” (washers):\n$V=\\pi\\int_a^b [R(x)]^2,dx$\ntrong đó $R(x)$ là bán kính (khoảng cách từ trục quay đến biên trên).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrên đoạn $[0,3]$, miền $H$ nằm giữa $y=0$ và $y=(x-2)^2$ nên khi quay quanh $Ox$:\nBán kính ngoài: $R(x)=(x-2)^2$\n\nBán kính trong: $r(x)=0$\n\nLập công thức thể tích:\n$V=\\pi\\int_0^3\\left[(x-2)^2\\right]^2dx=\\pi\\int_0^3(x-2)^4dx=\\pi\\cdot\\frac{33}{5}=\\frac{33\\pi}{5}.$\n\n✅ Đáp án: C. $\\frac{33\\pi}{5}.$","chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"ứng dụng hình học của tích phân","bloomLevel":"understand","tags":["the-tich-khoi-tron-xoay","tich-phan","ung-dung-hinh-hoc","dien-tich-hinh-phang"]},{"id":13,"text":"Vận tốc $v(t)$ (tính bằng centimét/giây) của một con lắc đơn theo thời gian $t$ được cho bởi các công thức $v(t)=2\\sin\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983718eccff64bb1265af71","statements":[{"label":"A","text":"Tại thời điểm $t=0$, vận tốc của con lắc đơn là $v(0)=1$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc $v(t)=2\\sin\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$ (đơn vị: cm/s).\n\nXét thời điểm $t=0$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị của $v(0)$ và kiểm tra xem nó có bằng $1$ hay không.\n\nCần biết cách thế $t=0$ vào biểu thức hàm sin để tính.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $t=0$ vào công thức: $v(0)=2\\sin\\left(2\\cdot 0+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=2\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{6}\\right).$\n\nBiết giá trị lượng giác cơ bản: $\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{6}\\right)=\\dfrac{1}{2}.$ \n\nDo đó $v(0)=2\\cdot \\dfrac{1}{2}=1\\quad(\\text{cm/s}).$\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Đạo hàm của $v(t)$ là $v'(t)=-4\\cos\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm vận tốc $v(t)=2\\sin\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right).$\n\nMột phương trình được đưa ra: $v'(t)=-4\\cos\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra xem đạo hàm của $v(t)$ có đúng bằng biểu thức trên hay không.\n\nBiết quy tắc đạo hàm cho hàm sin và quy tắc chuỗi là đủ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng quy tắc đạo hàm: nếu $v(t)=2\\sin(u(t))$ với $u(t)=2t+\\dfrac{\\pi}{6},$ thì\n$v'(t)=2\\cdot \\cos(u(t))\\cdot u'(t).$\n\nVì $u'(t)=2$ nên\n$v'(t)=2\\cdot \\cos\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)\\cdot 2=4\\cos\\left(2t+\\dfrac{\\pi}{6}\\right).$\n\nSo sánh với biểu thức đề bài: đề bài có dấu \"-\" trước 4, nhưng tính đúng là không có dấu \"-\". Vậy biểu thức trong đề bài sai.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"C","text":"Phương trình $v'(t)=0$ có nghiệm duy nhất trên đoạn $\\left[0;\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ là $\\dfrac{\\pi}{6}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$v'(t)=4\\cos\\left(2t+\\frac{\\pi}{6}\\right).$\n\nMệnh đề c): Phương trình $v'(t)=0$ có nghiệm duy nhất trên $\\left[0;\\frac{\\pi}{2}\\right]$ là $\\frac{\\pi}{6}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGiải $v'(t)=0$ rồi kiểm tra có đúng chỉ 1 nghiệm trong đoạn $\\left[0;\\frac{\\pi}{2}\\right]$ hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải: $v^{\\prime}(t)=0\\Leftrightarrow4\\cos\\left(2t+\\frac{\\pi}{6}\\right)=0\\Leftrightarrow\\cos\\left(2t+\\frac{\\pi}{6}\\right)=0.$\n\nKhi $\\cos \\theta =0$ thì: $\\theta=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi.$\nNên: $2t+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi.$\n\nGiải ra: $2t=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{\\pi}{6}+k\\pi=\\frac{\\pi}{3}+k\\pi\\Rightarrow t=\\frac{\\pi}{6}+k\\frac{\\pi}{2}.$\n\nXét trong $\\left[0;\\frac{\\pi}{2}\\right]$:\nVới $k=0$: $t=\\frac{\\pi}{6}$ (nhận).\n\nVới $k=1$: $t=\\frac{\\pi}{6}+\\frac{\\pi}{2}=\\frac{2\\pi}{3}>\\frac{\\pi}{2}$ (loại).\n\nVới $k<0$ thì $t<0$ (loại).\n\nVậy chỉ có đúng 1 nghiệm là $t=\\frac{\\pi}{6}.$\n\n✅ Kết luận: c) Đúng."},{"label":"D","text":"Trong khoảng từ $0$ đến $10$ giây, con lắc đơn có $4$ lần đạt vận tốc lớn nhất.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$v(t)=2\\sin\\left(2t+\\frac{\\pi}{6}\\right).$\n\nMệnh đề d): Trong khoảng từ $0$ đến $10$ giây, con lắc đơn có $4$ lần đạt vận tốc lớn nhất.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nVận tốc lớn nhất khi $\\sin(\\cdot)=1$.\n\nTa tìm các thời điểm $t$ trong $[0,10]$ thỏa điều đó và đếm số lần.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì: $-1\\le \\sin(\\cdot)\\le 1,$ nên $v(t)$ lớn nhất khi: $\\sin\\left(2t+\\frac{\\pi}{6}\\right)=1.$\n\nGiải: $2t+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+2k\\pi.$\n$2t=\\frac{\\pi}{2}-\\frac{\\pi}{6}+2k\\pi=\\frac{\\pi}{3}+2k\\pi\\Rightarrow t=\\frac{\\pi}{6}+k\\pi.$\n\nLiệt kê các nghiệm trong $[0,10]$:\n$t_0=\\frac{\\pi}{6}\\approx 0.524,$\n$t_1=\\frac{\\pi}{6}+\\pi\\approx 3.665,$\n$t_2=\\frac{\\pi}{6}+2\\pi\\approx 6.807,$\n$t_3=\\frac{\\pi}{6}+3\\pi\\approx 9.948.$\nCòn:\n$t_4=\\frac{\\pi}{6}+4\\pi\\approx 13.090>10$ (loại).\n\nVậy có đúng $4$ thời điểm trong $[0,10]$ đạt vận tốc lớn nhất.\n\n✅ Kết luận: d) Đúng."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1a-ts9JAYwb5Abs9uVsLj0NpDpPvV0qOw_2026-02-04161917.png"],"chapter":"đạo hàm","topic":"bài tập cuối chương ix.","bloomLevel":"apply","tags":["dao-ham","van-toc","con-lac-don","luong-giac","cuc-tri","giai-phuong-trinh"]},{"id":14,"text":"Hộp $A$ chứa bốn quả bóng được đánh số $1;2;3;4$. Hộp $B$ chứa ba quả bóng được đánh số $1;2;3$. Hộp $C$ chứa hai quả bóng được đánh số $1;2$. Một trong ba hộp được chọn ngẫu nhiên và sau đó một quả bóng được chọn ngẫu nhiên từ hộp đó.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983718eccff64bb1265af71","statements":[{"label":"A","text":"Nếu hộp $A$ được chọn thì xác suất quả bóng số $1$ được chọn bằng $\\dfrac{1}{3}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHộp $A$ có $4$ bóng: $1,2,3,4.$\n\nNếu đã chọn hộp $A$ thì chọn bóng ngẫu nhiên trong $4$ bóng.\n\nMệnh đề a): Nếu chọn hộp $A$ thì xác suất lấy được bóng số $1$ bằng $\\frac{1}{3}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $P(1|A)$ rồi so sánh với $\\frac{1}{3}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrong hộp $A$ có $4$ bóng và chỉ có $1$ bóng mang số $1$ nên: $P(1|A)=\\frac{1}{4}.$\n\nVì: $\\frac{1}{4}\\ne \\frac{1}{3},$\nnên mệnh đề sai.\n\n✅ Kết luận: a) Sai."},{"label":"B","text":"Xác suất chọn được quả bóng số $3$ bằng $\\dfrac{5}{36}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChọn ngẫu nhiên 1 trong 3 hộp $A,B,C$ nên:\n$P(A)=P(B)=P(C)=\\frac{1}{3}.$\n\nHộp $A$: $1,2,3,4$ ⇒ $P(3|A)=\\frac{1}{4}.$\n\nHộp $B$: $1,2,3$ ⇒ $P(3|B)=\\frac{1}{3}.$\n\nHộp $C$: $1,2$ ⇒ $P(3|C)=0.$\n\nMệnh đề b): $P(\\text{lấy được bóng }3)=\\frac{5}{36}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nDùng công thức xác suất toàn phần để tính $P(3)$ rồi so sánh với $\\frac{5}{36}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng:\n$P(3)=P(A)P(3|A)+P(B)P(3|B)+P(C)P(3|C).$\n\nThay số:\n$P(3)=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{4}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3}\\cdot0=\\frac{1}{12}+\\frac{1}{9}=\\frac{3}{36}+\\frac{4}{36}=\\frac{7}{36}.$\n\nVì: $\\frac{7}{36}\\ne \\frac{5}{36},$ nên mệnh đề sai.\n\n✅ Kết luận: b) Sai."},{"label":"C","text":"Biết rằng quả bóng số $1$ đã được chọn, xác suất để quả bóng này thuộc hộp $A$ bằng $0,23$ (làm tròn đến hàng phần trăm).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$P(A)=P(B)=P(C)=\\frac{1}{3}.$\n\n$P(1|A)=\\frac{1}{4},\\quad P(1|B)=\\frac{1}{3},\\quad P(1|C)=\\frac{1}{2}.$\n\nMệnh đề c): Biết đã lấy được bóng số $1$, xác suất bóng này thuộc hộp $A$ là $0{,}23$ (làm tròn đến hàng phần trăm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính $P(A|1)$ bằng công thức Bayes, rồi làm tròn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính xác suất lấy được bóng $1$:\n$P(1)=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{4}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}=\\frac{1}{12}+\\frac{1}{9}+\\frac{1}{6}=\\frac{3+4+6}{36}=\\frac{13}{36}.$\n\nTính: $P(A|1)=\\frac{P(A)P(1|A)}{P(1)}=\\frac{\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{4}}{\\frac{13}{36}}\r\n =\\frac{\\frac{1}{12}}{\\frac{13}{36}}=\\frac{3}{13}\\approx 0{,}230769.$\n\nLàm tròn đến hàng phần trăm: $0{,}230769\\approx 0{,}23.$\n\n✅ Kết luận: c) Đúng"},{"label":"D","text":"Nếu người ta lấy được quả bóng số $1$, sau đó hoàn lại quả bóng và tiếp tục lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp đó thì được quả bóng số $3$; xác suất để quả bóng này thuộc về hộp $B$ bằng $\\dfrac{16}{27}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChọn ngẫu nhiên 1 hộp $A,B,C$: $P(A)=P(B)=P(C)=\\frac{1}{3}.$\n\nLấy được bóng $1$, hoàn lại, rồi lấy tiếp được bóng $3$ (lấy trong cùng hộp).\n\nMệnh đề d): Xác suất hộp đã chọn là $B$ bằng $\\frac{16}{27}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGọi biến cố $E$: “lần 1 được $1$ và lần 2 được $3$ (có hoàn lại)”.\n\nCần tính $P(B|E)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo hoàn lại nên 2 lần lấy độc lập trong cùng hộp:\n$P(E|A)=P(1|A)P(3|A)=\\frac{1}{4}\\cdot\\frac{1}{4}=\\frac{1}{16}.$\n$P(E|B)=P(1|B)P(3|B)=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{3}=\\frac{1}{9}.$\n$P(E|C)=P(1|C)P(3|C)=\\frac{1}{2}\\cdot 0=0.$\n\nXác suất biến cố $E$:$P(E)=\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{16}+\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{9}+\\frac{1}{3}\\cdot0=\\frac{1}{48}+\\frac{1}{27}=\\frac{9+16}{432}=\\frac{25}{432}.$\n\nÁp dụng Bayes: $P(B|E)=\\frac{P(B)P(E|B)}{P(E)}=\\frac{\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{9}}{\\frac{25}{432}}=\\frac{\\frac{1}{27}}{\\frac{25}{432}}=\\frac{16}{25}.$\n\nVì: $\\frac{16}{25}\\ne \\frac{16}{27},$ nên mệnh đề sai.\n\n✅ Kết luận: d) Sai."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1JSNLt0u4aM-K5mSHlg1nyaKJ7l0f6TQM_2026-02-04161917.png"],"chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"bài tập cuối chương vi","bloomLevel":"apply","tags":["xac-suat-co-dieu-kien","bayes","xac-suat-toan-phan","hop-bong","xac-suat"]},{"id":15,"text":"Trong không gian $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là nghìn kilômét, quỹ đạo chuyển động của hai tiểu hành tinh lần lượt được mô hình hóa là phương trình các đường thẳng $d_1:\\dfrac{x+1}{1}=\\dfrac{y+2}{2}=\\dfrac{z}{1};\\ d_2:\\dfrac{x-2}{2}=\\dfrac{y-1}{1}=\\dfrac{z-1}{1}$. \nTa xem vùng khí quyển của sao Hỏa là mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=3,5^2$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983718eccff64bb1265af71","statements":[{"label":"A","text":"Tiểu hành tinh thứ nhất đi qua điểm $A(-1;-2;0)$, vectơ chỉ phương $\\vec u_1=(-1;-2;-1)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐường thẳng $d_1:\\ \\frac{x+1}{1}=\\frac{y+2}{2}=\\frac{z}{1}.$\n\nMệnh đề a): $d_1$ đi qua $A(-1,-2,0)$ và có vectơ chỉ phương $\\vec{u_1}=(-1,-2,-1).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra 2 ý: điểm $A$ có thuộc $d_1$ không và vectơ $\\vec{u_1}$ có cùng phương với vectơ chỉ phương của $d_1$ không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt tham số $t$:\n$\\frac{x+1}{1}=\\frac{y+2}{2}=\\frac{z}{1}=t.$\n$\\Rightarrow x=-1+t,\\ y=-2+2t,\\ z=t.$\n\nVới $t=0$ ta được:\n$(x,y,z)=(-1,-2,0)=A \\Rightarrow A\\in d_1.$\n\nVectơ chỉ phương của $d_1$ là: $\\vec{u}=(1,2,1).$\n\nTa thấy: $(-1,-2,-1)=-1\\cdot(1,2,1),$\nnên $\\vec{u_1}$ cùng phương với vectơ chỉ phương của $d_1.$\n\n✅ Kết luận: a) Đúng."},{"label":"B","text":"Sao hỏa có tâm là gốc tọa độ, bán kính tính từ tâm sao Hỏa đến điểm ngoài cùng của khí quyển là khoảng $350\\ km$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMặt cầu khí quyển sao Hỏa:\n$x^2+y^2+z^2=3{,}5^2.$\n\nĐơn vị trên mỗi trục là nghìn km.\n\nMệnh đề b): bán kính khí quyển khoảng $350\\text{ km}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTừ phương trình mặt cầu, suy ra tâm và bán kính, rồi đổi đơn vị “nghìn km” sang km.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMặt cầu $x^2+y^2+z^2=3{,}5^2$ có: $O(0,0,0),\\ R=3{,}5.$\n\nVì đơn vị là nghìn km nên: $R=3{,}5\\ \\text{(nghìn km)}=3500\\text{ km}.$\n\nMệnh đề nói $350\\text{ km}$ là sai.\n\n✅ Kết luận: b) Sai."},{"label":"C","text":"Tiểu hành tinh thứ nhất có thể đi vào vùng khí quyển của sao Hỏa.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$d_1:\\ x=-1+t,\\ y=-2+2t,\\ z=t.$\n\nMặt cầu:\n$x^2+y^2+z^2=3{,}5^2=12{,}25.$\n\nMệnh đề c): Tiểu hành tinh thứ nhất có thể đi vào vùng khí quyển (tức là $d_1$ cắt mặt cầu).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nThế tham số của $d_1$ vào phương trình mặt cầu, xem có nghiệm thực $t$ hay không.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThay $x=-1+t,\\ y=-2+2t,\\ z=t$ vào:\n$(-1+t)^2+(-2+2t)^2+t^2=12{,}25.$\n\nRút gọn: $6t^2-10t+5=12{,}25 \\Rightarrow 6t^2-10t-7{,}25=0.$\n\nTính biệt thức: $\\Delta =(-10)^2-4\\cdot 6\\cdot(-7{,}25)=100+174=274>0.$\n\nVì $\\Delta>0$ nên phương trình có nghiệm thực ⇒ $d_1$ cắt mặt cầu ⇒ tiểu hành tinh có thể đi vào khí quyển.\n\n✅ Kết luận: c) Đúng."},{"label":"D","text":"Hai tiểu hành tinh không có nguy cơ va chạm nhau.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$d_1:\\ x=-1+t,\\ y=-2+2t,\\ z=t,\\ \\vec{u}=(1,2,1).$\n\n$d_2:\\ \\frac{x-2}{2}=\\frac{y-1}{1}=\\frac{z-1}{1}=s \\Rightarrow x=2+2s,\\ y=1+s,\\ z=1+s,$\nnên vectơ chỉ phương $\\vec{v}=(2,1,1).$\n\nMệnh đề d): Hai tiểu hành tinh không có nguy cơ va chạm (hiểu là quỹ đạo không cắt nhau).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra hai đường thẳng $d_1, d_2$ có giao nhau không (nếu không giao nhau thì không va chạm theo quỹ đạo).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGiải hệ giao điểm:\n$-1+t=2+2s,\\quad -2+2t=1+s,\\quad t=1+s.$\n\nTừ $t=1+s \\Rightarrow s=t-1.$\n\nThế vào phương trình thứ nhất:\n$-1+t=2+2(t-1)=2t \\Rightarrow t=-1 \\Rightarrow s=-2.$\n\nKiểm tra phương trình thứ hai:\n$-2+2(-1)=-4 \\ne 1+(-2)=-1.$\n⇒ Hệ vô nghiệm ⇒ $d_1$ và $d_2$ không cắt nhau.\n\n✅ Kết luận: d) Đúng."}],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","bloomLevel":"apply","tags":["duong-thang","mat-cau","khoang-cach","toa-do-khong-gian","tieu-hanh-tinh"]},{"id":16,"text":"Một chậu nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của chậu (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó. Biết hai đường tròn đáy chậu cùng có bán kính $0,5,m$; thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của chậu có bán kính $0,2,m$; chiều cao của chậu nước bằng $1,5,m$. Người ta bơm nước vào chậu với tốc độ $5$ lít/phút. Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia $Ox$ chứa trục của chậu nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của chậu nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ, gọi $y=f(x)$ là parabol nằm trên trục hoành. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983718eccff64bb1265af71","statements":[{"label":"A","text":"$f(x)=\\dfrac{8}{15}x^2-\\dfrac{4}{5}x+\\dfrac{1}{2}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChậu là khối tròn xoay quanh trục $Ox$, bán kính tại vị trí $x$ là $r=f(x).$\n\nHai đáy có bán kính $0{,}5\\text{ m}$ nên: $f(0)=0{,}5,\\quad f(1{,}5)=0{,}5.$\n\nThiết diện nhỏ nhất có bán kính $0{,}2\\text{ m}$ và do hai đầu bằng nhau nên đỉnh parabol ở giữa:\n$x=\\frac{1{,}5}{2}=0{,}75,\\quad f(0{,}75)=0{,}2.$\n\nMệnh đề a): $f(x)=\\frac{8}{15}x^2-\\frac{4}{5}x+\\frac{1}{2}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nLập phương trình parabol $f(x)$ từ 3 điều kiện, rồi so sánh với biểu thức đã cho.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết dạng đỉnh: $f(x)=a(x-0{,}75)^2+0{,}2.$\n\nDùng $f(0)=0{,}5$:\n$0{,}5=a(0-0{,}75)^2+0{,}2 \\Rightarrow 0{,}3=a\\cdot 0{,}75^2=a\\cdot 0{,}5625.$\n$\\Rightarrow a=\\frac{0{,}3}{0{,}5625}=\\frac{8}{15}.$\n\nSuy ra: $f(x)=\\frac{8}{15}(x-0{,}75)^2+0{,}2=\\frac{8}{15}x^2-\\frac{4}{5}x+\\frac{1}{2}.$\n\n✅ Kết luận: a) Đúng."},{"label":"B","text":"Sức chứa tối đa của chậu nước bằng $0,5\\ m^3$ (làm tròn đến hàng phần chục của mét khối).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTừ câu a) có: $f(x)=\\frac{8}{15}x^2-\\frac{4}{5}x+\\frac{1}{2}.$\n\nChậu là khối tròn xoay quanh $Ox$, thể tích: $V=\\pi\\int_{0}^{1{,}5} \\left(f(x)\\right)^2,dx.$\n\nMệnh đề b): sức chứa tối đa khoảng $0{,}5,m^3$ (làm tròn đến hàng phần chục).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính $V$ rồi làm tròn đến 1 chữ số thập phân để kiểm tra.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính: $V=\\pi\\int_{0}^{1{,}5}\\left(\\frac{8}{15}x^2-\\frac{4}{5}x+\\frac{1}{2}\\right)^2dx.$\n\nKết quả (rút gọn) là: $V=\\frac{147\\pi}{1000}\\approx 0{,}4618\\ (m^3).$\n\nLàm tròn đến hàng phần chục: $0{,}4618 \\approx 0{,}5\\ (m^3).$\n\n✅ Kết luận: b) Đúng."},{"label":"C","text":"Sau $1,5$ giờ bơm nước (làm tròn đến hàng phần chục của giờ) thì chậu đầy nước.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThể tích tối đa: $V=\\frac{147\\pi}{1000}\\ (m^3).$\n\nTốc độ bơm: $5$ lít/phút $=5\\cdot 10^{-3}\\ (m^3/\\text{phút})=0{,}005\\ (m^3/\\text{phút}).$\n\nMệnh đề c): sau $1{,}5$ giờ (làm tròn đến 0,1 giờ) thì chậu đầy.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thời gian đầy: $t=\\frac{V}{0{,}005}$\nrồi đổi sang giờ và làm tròn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nThời gian (phút):$t=\\frac{\\frac{147\\pi}{1000}}{0{,}005}=\\frac{\\frac{147\\pi}{1000}}{\\frac{5}{1000}}=\\frac{147\\pi}{5}\\approx 92{,}4\\ \\text{phút}.$\n\nĐổi ra giờ: $92{,}4\\ \\text{phút}=\\frac{92{,}4}{60}\\approx 1{,}54\\ \\text{giờ}.$\n\nLàm tròn đến hàng phần chục của giờ: $1{,}54\\approx 1{,}5\\ \\text{giờ}.$\n\n✅ Kết luận: c) Đúng."},{"label":"D","text":"Nếu bơm từ đầu như thế thì đến phút thứ $20$, tốc độ dâng lên của nước bằng $0,01\\ m/\\text{phút}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLưu lượng bơm: $\\frac{dV}{dt}=0{,}005\\ (m^3/\\text{phút}).$\n\nVới mực nước đến vị trí $x=h$ (m), thể tích nước là: $V(h)=\\pi\\int_{0}^{h}\\left(f(x)\\right)^2dx.$\n\nMệnh đề d): đến phút thứ $20$ thì tốc độ dâng lên của nước là $0{,}01\\ \\text{m/phút}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần:\ntìm $h$ tại $t=20$ phút từ $V=0{,}005\\cdot 20,$\n\ndùng:\n$\\frac{dV}{dt}=\\frac{dV}{dh}\\cdot \\frac{dh}{dt},\\quad \\frac{dV}{dh}=\\pi\\left(f(h)\\right)^2.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTại $t=20$ phút, thể tích đã bơm: $V=0{,}005\\cdot 20=0{,}1\\ (m^3).$\n\nTìm $h$ sao cho: $\\pi\\int_{0}^{h}\\left(f(x)\\right)^2dx=0{,}1.$\n(giải gần đúng) được: $h\\approx 0{,}164\\ \\text{m}.$\n\nKhi đó: $\\frac{dh}{dt}=\\frac{0{,}005}{\\pi\\left(f(h)\\right)^2}.$\nVới $h\\approx 0{,}164$ thì $f(h)\\approx 0{,}383$, nên: $\\frac{dh}{dt}\\approx \\frac{0{,}005}{\\pi\\cdot (0{,}383)^2}\\approx 0{,}01084\\ \\text{m/phút}.$\n\nSo với $0{,}01$ thì không đúng bằng (lệch khoảng $0{,}00084$).\n\n✅ Kết luận: d) Sai."}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1qiC7weLdzWV9QpWF205fd2s9YC2b6otl_2026-02-04161919.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"analyze","tags":["the-tich","dao-ham","bai-toan-thuc-te","parabol","toc-do-bom-nuoc","dien-tich-thiet-dien"]},{"id":17,"text":"Cho tứ diện $OABC$ với $OBC$ là tam giác vuông tại $O$, trong đó $OB=1$ và $OC=\\sqrt{3}$. Biết rằng $OA$ vuông góc với mặt phẳng $(OBC)$ và $OA=\\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $OM$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"0,77","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $OABC$, tam giác $OBC$ vuông tại $O$.\n\n$OB=1,\\quad OC=\\sqrt{3}.$\n\n$OA\\perp (OBC),\\quad OA=\\sqrt{3}.$\n\n$M$ là trung điểm của $BC.$\n\nCần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $OM$ (làm tròn đến hàng phần trăm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHai đường thẳng $AB$ và $OM$ là hai đường chéo nhau trong không gian.\n\nTa cần dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:\n$d=\\frac{\\left|\\overrightarrow{w}\\cdot(\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v})\\right|}{\\left|\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v}\\right|}$\ntrong đó $\\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng, $\\overrightarrow{w}$ nối từ 1 điểm trên đường này đến 1 điểm trên đường kia.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\nĐặt hệ trục tọa độ sao cho $O(0,0,0)$, mặt phẳng $(OBC)$ là mặt phẳng $Oxy$:\n$B(1,0,0),\\quad C(0,\\sqrt{3},0),\\quad A(0,0,\\sqrt{3}).$\n\nTính trung điểm: $M\\left(\\frac{1}{2},\\frac{\\sqrt{3}}{2},0\\right).$\n\nVectơ chỉ phương:\n$\\overrightarrow{u}=\\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,-\\sqrt{3}),$\n$\\overrightarrow{v}=\\overrightarrow{OM}=M-O=\\left(\\frac{1}{2},\\frac{\\sqrt{3}}{2},0\\right).$\n\nLấy vectơ nối từ điểm trên $AB$ đến điểm trên $OM$ (chọn $A$ và $O$):\n$\\overrightarrow{w}=\\overrightarrow{AO}=O-A=(0,0,-\\sqrt{3}).$\n\nTính tích có hướng: $\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v}=\\left(\\frac{3}{2},-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$\nnên $\\left|\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v}\\right|=\\frac{\\sqrt{15}}{2}.$\n\nTính tích vô hướng: $\\overrightarrow{w}\\cdot(\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v})=(0,0,-\\sqrt{3})\\cdot\\left(\\frac{3}{2},-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)=-\\frac{3}{2}.$\nDo đó $\\left|\\overrightarrow{w}\\cdot(\\overrightarrow{u}\\times\\overrightarrow{v})\\right|=\\frac{3}{2}.$\n\nSuy ra khoảng cách: $d=\\frac{\\frac{3}{2}}{\\frac{\\sqrt{15}}{2}}=\\frac{3}{\\sqrt{15}}=\\frac{\\sqrt{15}}{5}\\approx 0{,}7746.$\n\n✅ Đáp án: $d\\approx 0{,}77.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/nh_chp_mn_hnh_2026-02-05_114850.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["khoang-cach","duong-xi-canh","tu-dien","toa-do-khong-gian","tich-vo-huong"]},{"id":18,"text":"Một cửa hàng cần nhập $2500$ chiếc máy tính bảng trong $1$ năm. Cửa hàng chọn chia thành nhiều đợt giao hàng, mỗi đợt giao $x$ chiếc $\\left(1\\le x\\le 2500,,x\\in\\mathbb{N}^*\\right)$. Công ty vận chuyển tính phí cho mỗi đợt như sau: Phí điều xe cố định: $20$ đô la/đợt. Phí an ninh–bảo hiểm cho lô hàng lớn: $0,002x^2$ đô la/đợt. Hỏi mỗi đợt công ty nên vận chuyển bao nhiêu máy tính bảng để tổng chi phí vận chuyển trong năm là nhỏ nhất?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"100","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCửa hàng cần nhập tổng cộng $2500$ máy tính bảng trong $1$ năm.\n\nChia thành nhiều đợt giao hàng, mỗi đợt giao $x$ chiếc, với $1\\le x\\le 2500,\\ x\\in\\mathbb{N}^*.$\n\nChi phí cho mỗi đợt:\nPhí điều xe cố định: $20$ (đô la/đợt).\n\nPhí an ninh–bảo hiểm: $0{,}002x^2$ (đô la/đợt).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHỏi nên chọn $x$ bằng bao nhiêu để tổng chi phí vận chuyển trong năm nhỏ nhất.\n\nCần lập hàm chi phí theo $x$ rồi tìm giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nSố đợt giao hàng trong năm là: $n=\\frac{2500}{x}\\quad (\\text{để giao đủ, cần } x \\text{ là ước của } 2500).$\n\nChi phí mỗi đợt là: $20+0{,}002x^2.$\n\nTổng chi phí trong năm: $C(x)=n\\left(20+0{,}002x^2\\right)=\\frac{2500}{x}\\left(20+0{,}002x^2\\right).$\n\nRút gọn: $C(x)=\\frac{2500\\cdot 20}{x}+2500\\cdot 0{,}002x=\\frac{50000}{x}+5x.$\n\nXét $C(x)$ (với $x>0$), tìm điểm cực tiểu bằng đạo hàm:\n$C'(x)=-\\frac{50000}{x^2}+5.$\n$C'(x)=0 \\Rightarrow -\\frac{50000}{x^2}+5=0 \\Rightarrow \\frac{50000}{x^2}=5 \\Rightarrow x^2=10000 \\Rightarrow x=100.$\n\nVì $100$ là ước của $2500$ nên chọn được phương án này (khi đó $n=\\frac{2500}{100}=25$ đợt) và đây là giá trị cho tổng chi phí nhỏ nhất.\n\n✅ Đáp án: $x=100$ (chiếc/đợt).","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn","bloomLevel":"apply","tags":["toi-uu-hoa","chi-phi-van-chuyen","dao-ham","bai-toan-thuc-te","so-luong-dat-hang"]},{"id":19,"text":"Trên hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài: $m$), một người lái mô tô xuất phát từ vị trí $A(0;0;0)$ đến $B(0;600;0)$ trong $6$ phút. Từ $B$, người đó cho xe đổi hướng để tiến thẳng đến $C(1500;600;0)$ với tốc độ không đổi và bằng đúng tốc độ khi đi từ $A$ đến $B$. Hỏi ở phút thứ $8$ kể từ khi xe đổi hướng, tốc độ thay đổi khoảng cách của xe mô tô đối với vị trí xuất phát $A$ là bao nhiêu $m/\\text{phút}$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"80","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\n$A(0;0;0),\\quad B(0;600;0),\\quad C(1500;600;0).$\n\nĐi từ $A$ đến $B$ trong $6$ phút.\n\nTừ $B$ đi thẳng đến $C$ với tốc độ không đổi và bằng đúng tốc độ khi đi từ $A$ đến $B$.\n\nHỏi: ở phút thứ 8 kể từ khi xe đổi hướng tại $B$, tốc độ thay đổi khoảng cách từ xe đến $A$ là bao nhiêu (m/phút).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nGọi $r(t)$ là khoảng cách từ xe đến điểm xuất phát $A$ sau $t$ phút kể từ lúc đổi hướng ở $B$.\n\nCần tính $\\frac{dr}{dt}$ tại $t=8$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính tốc độ khi đi từ $A$ đến $B$:\n$AB=\\sqrt{(0-0)^2+(600-0)^2}=600\\ (\\text{m})$\n$v=\\frac{600}{6}=100\\ (\\text{m/phút}).$\n\nSau khi đổi hướng ở $B$, xe đi theo trục $x$ (vì $B(0,600,0)\\to C(1500,600,0)$), nên sau $t$ phút:\n$x=100t,\\quad y=600,\\quad z=0.$\n\nKhoảng cách đến $A(0,0,0)$:\n$r(t)=\\sqrt{(100t)^2+600^2}=\\sqrt{10000t^2+360000}.$\n\nLấy đạo hàm: $r^{\\prime}(t)=\\frac{1}{2\\sqrt{10000t^2+360000}}\\cdot20000t=\\frac{10000t}{\\sqrt{10000t^2+360000}}.$\n\nThay $t=8$:\n$r^{\\prime}(8)=\\frac{10000\\cdot8}{\\sqrt{10000\\cdot64+360000}}=\\frac{80000}{\\sqrt{1000000}}=\\frac{80000}{1000}=80.$\n\n✅ Đáp án: $80\\text{ m/ph^^fat}.$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["dao-ham","van-toc","khoang-cach","toa-do-khong-gian","bai-toan-thuc-te","toc-do-thay-doi"]},{"id":20,"text":"Một loại gạch men có kích thước hình vuông $60\\times60\\ \\text{cm}$. Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn $(C_1)$ nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn $(C_1)$ mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn $(C_1)$, bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp $(C_2)$; và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn $(C_2)$ mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ thế tiếp tục vô hạn lần (tham khảo hình vẽ). Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu $cm^2$? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của $cm^2$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"1545","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nViên gạch là hình vuông cạnh $60\\text{ cm}$.\n\nVẽ đường tròn $C_1$ nội tiếp hình vuông lớn.\n\nTô màu đậm phần nằm ngoài $C_1$ nhưng thuộc hình vuông.\n\nTiếp tục: vẽ hình vuông nội tiếp $C_1$, rồi vẽ đường tròn $C_2$ nội tiếp hình vuông đó, lại tô phần ngoài $C_2$ thuộc hình vuông đó.\n\nQuy luật lặp vô hạn.\n\nHỏi tổng diện tích phần tô màu đậm (làm tròn đến đơn vị $\\text{cm}^2$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMỗi “vòng” tô màu là: diện tích hình vuông trừ diện tích đường tròn nội tiếp hình vuông đó.\n\nTa cần cộng vô hạn các diện tích kiểu này theo một cấp số nhân.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi cạnh hình vuông ban đầu là $s_0=60.$\n\nVới hình vuông cạnh $s$:\nDiện tích hình vuông: $S_{\\square}=s^2.$\n\nĐường tròn nội tiếp có bán kính $r=\\frac{s}{2}$ nên: $S_{\\circ}=\\pi r^2=\\pi\\left(\\frac{s}{2}\\right)^2=\\frac{\\pi s^2}{4}.$\n\nDiện tích tô ở “vòng” đó: $\\Delta(s)=S_{\\square}-S_{\\circ}=s^2-\\frac{\\pi s^2}{4}=s^2\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right).$\n\nTìm quy luật cạnh các hình vuông:\nHình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $\\frac{s}{2}$ có đường chéo bằng đường kính $s$, nên cạnh mới:\n$s_{\\text{mới}}=\\frac{s}{\\sqrt{2}}.$\n\nDo đó: $s_n=\\frac{60}{(\\sqrt{2})^n}.$\n\nDiện tích tô ở vòng $n$: $\\Delta_n=s_n^2\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\left(\\frac{60^2}{2^n}\\right)\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right).$\n\nTổng diện tích tô màu: $S=\\sum_{n=0}^{\\infty}\\Delta_n=60^2\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}.$\n\nVì: $\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}=\\frac{1}{1-\\frac12}=2,$ nên: $S=60^2\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right)\\cdot 2=7200\\left(1-\\frac{\\pi}{4}\\right).$\n\nTính gần đúng:\n$S\\approx 7200\\left(1-\\frac{3{,}1416}{4}\\right)=7200(1-0{,}7854)=7200\\cdot 0{,}2146\\approx 1545{,}1.$\n\nLàm tròn đến đơn vị: $S\\approx 1545\\ (\\text{cm}^2).$\n\n✅ Đáp án: $1545\\text{ cm}^2.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1NB9WXh8bxiNqvx2-dTcP1guNIAAPljYR_2026-02-04161916.png"],"chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","bloomLevel":"analyze","tags":["cap-so-nhan","tong-vo-han","dien-tich","gach-men","hinh-vuong-noi-tiep","duong-tron-noi-tiep"]},{"id":21,"text":"Trên một ô lưới như hình, hình chữ nhật $AB$ gồm $9$ cột và $5$ hàng ô vuông. Một bé cún xuất phát từ điểm $A$ và chạy đến điểm $B$. Mỗi bước, bé cún chỉ được chạy sang phải hoặc xuống dưới đúng $1$ ô (đi theo các cạnh ô vuông), vì vậy bé cún luôn đi theo đường ngắn nhất. Trong hình có các vùng tô đậm là những bãi bùn. Bé cún không được chạy vào miền trong của các vùng tô đậm, nhưng được phép chạy trên đường biên của chúng. Hỏi bé cún có bao nhiêu cách chạy từ $A$ đến $B$?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"1127","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chữ nhật gồm $9$ cột và $5$ hàng ô vuông.\n\nBé cún đi từ $A$ đến $B$, mỗi bước chỉ đi:\nsang phải $1$ ô hoặc\n\nxuống dưới $1$ ô\n⇒ luôn đi theo đường ngắn nhất.\n\nCó 2 vùng bùn tô đậm: không được đi vào miền trong, nhưng được đi trên biên.\n\nHỏi: có bao nhiêu cách chạy từ $A$ đến $B$?\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTrước hết đếm tổng số đường đi ngắn nhất (chưa xét bùn).\n\nSau đó trừ đi các đường bị cấm vì “đi xuyên miền trong” của các vùng bùn.\n\nDùng kí hiệu tổ hợp theo SGK: $C_n^k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Tổng số đường đi (không xét bùn)\nTừ $A$ đến $B$ cần:\nđi sang phải $9$ lần\n\nđi xuống $5$ lần\nTổng cộng $14$ bước.\nSố cách sắp xếp các bước là: $N_{\\text{tổng}}=C_{14}^{9}.$\n\nBước 2: Trừ các đường đi xuyên miền trong bùn lớn\nTheo hình minh hoạ, nếu đường đi xuyên miền trong bùn lớn thì bắt buộc đi qua điểm $P$ (điểm chốt).\nKhi đó:\nTừ $A$ đến $P$ có: $C_{7}^{4}.$\n\nTừ $P$ đến $B$ có: $C_{7}^{5}.$\nSố đường bị loại do bùn lớn: $N_1=C_{7}^{4},C_{7}^{5}.$\n\nBước 3: Trừ các đường đi xuyên miền trong bùn nhỏ\nTheo hình, đường đi xuyên miền trong bùn nhỏ bắt buộc đi qua $M$ rồi $N$ theo đúng thứ tự.\nKhi đó:\nTừ $A$ đến $M$ có: $C_{7}^{6}.$\n\nTừ $M$ đến $N$ là đoạn bắt buộc nên có: $1.$\n\nTừ $N$ đến $B$ có: $C_{6}^{3}.$\nSố đường bị loại do bùn nhỏ: $N_2=C_{7}^{6},C_{6}^{3}.$\n\nBước 4: Số đường hợp lệ\n$N=N_{\\text{tổng}}-(N_1+N_2)=C_{14}^{9}-\\left(C_{7}^{4}C_{7}^{5}+C_{7}^{6}C_{6}^{3}\\right).$\nTính từng giá trị:\n$C_{14}^{9}=2002,\\quad C_{7}^{4}C_{7}^{5}=35\\cdot 21=735,\\quad C_{7}^{6}C_{6}^{3}=7\\cdot 20=140.$\nSuy ra: $N=2002-(735+140)=2002-875=1127.$\n\n✅ Đáp án: $1127.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1Ph353UYRu0S-0wfZt6n0qei1p43n371d_2026-02-04161917.png"],"chapter":"đại số tổ hợp","topic":"bài tập cuối chương viii","bloomLevel":"analyze","tags":["dem-duong-di","luoi-o-vuong","to-hop","vat-can","bai-toan-dem","quy-tac-dem"]},{"id":22,"text":"Công tử Bạc Liêu có một mảnh đất hình vuông ở một khu đô thị sầm uất, hình vuông có cạnh $40,m$, công tử dự định xây một hồ bơi được giới hạn bởi cạnh $AB$ của hình vuông và một parabol đi qua hai đầu mút cạnh đó, đỉnh của parabol cách cạnh $AB$ một đoạn $10,m$. Từ vị trí $O$ là trung điểm $AB$, kẻ tia $Ot$ bất kì cắt parabol và một cạnh khác của hình vuông theo thứ tự tại các điểm $M,N$. Gọi $P$ là trung điểm $MN$, khi tia $Ot$ quay quanh gốc $O$ thì tập hợp các điểm $P$ tạo thành đường cong $(L)$. Công tử dự định sử dụng một loại gạch men đặc biệt để lát nền cho toàn bộ khu vực được giới hạn bởi đường cong $(L)$ và parabol. Phần còn lại trên mảnh đất hình vuông đó thì công tử sẽ trồng cỏ. Biết rằng chi phí xây hồ bơi là $5$ triệu đồng/$m^2$, chi phí lát gạch men là $2$ triệu đồng/$m^2$, chi phí trồng cỏ tự nhiên là $100$ nghìn đồng/$m^2$. Tính tổng số tiền mà công tử Bạc Liêu phải chi trả cho toàn bộ dự án trên theo đơn vị tỷ đồng (làm tròn đến hàng phần chục).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983718eccff64bb1265af72","correctAnswer":"2,4","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMảnh đất là hình vuông cạnh $40\\text{ m}$ ⇒ diện tích $S_{\\square}=40^2=1600\\ (\\text{m}^2).$\n\nHồ bơi được giới hạn bởi cạnh $AB$ và một parabol đi qua $A,B$, đỉnh cách $AB$ $10\\text{ m}$.\n\n$O$ là trung điểm $AB$. Tia $Ot$ cắt parabol tại $M$ và cắt cạnh khác của hình vuông tại $N$ (theo thứ tự).\n\n$P$ là trung điểm của $MN$. Khi tia $Ot$ quay quanh $O$ thì $P$ tạo thành đường cong $(L).$\n\nChi phí:\nXây hồ: $5$ triệu đồng/m$^2$\n\nLát gạch: $2$ triệu đồng/m$^2$\n\nTrồng cỏ: $0{,}1$ triệu đồng/m$^2$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính 3 diện tích:\n$S_{\\text{hồ}}$ (giữa $AB$ và parabol)\n\n$S_{\\text{gạch}}$ (giữa parabol và đường $(L)$)\n\n$S_{\\text{cỏ}}=1600-S_{\\text{hồ}}-S_{\\text{gạch}}$\n\nSau đó tính tổng tiền: $T=5S_{\\text{hồ}}+2S_{\\text{gạch}}+0{,}1S_{\\text{cỏ}}\\quad (\\text{triệu đồng}).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Lập phương trình parabol.\nĐặt hệ trục sao cho $O(0,0)$, $AB$ là trục hoành, $A(20,0),\\ B(-20,0)$ và trục $Oy$ hướng xuống dưới.\nĐỉnh parabol cách $AB$ $10\\text{ m}$ nên đỉnh là $(0,10)$ (theo trục hướng xuống).\nKhi đó parabol có dạng: $y=ax^2+10.$\nVì đi qua $A(20,0)$:\n$0=a\\cdot 20^2+10\\Rightarrow 400a=-10\\Rightarrow a=-\\frac{1}{40}.$\nVậy: $y=10-\\frac{x^2}{40}.$\n\nBước 2: Diện tích hồ bơi.\nHồ là phần giữa $AB: y=0$ và parabol trên đoạn $[-20,20]$:\n$S_{\\text{hồ}}=\\int_{-20}^{20}\\left(0-\\left(10-\\frac{x^2}{40}\\right)\\right),dx=\\int_{-20}^{20}\\left(\\frac{x^2}{40}-10\\right),dx.$\nTính được: $S_{\\text{hồ}}=\\frac{800}{3}\\approx 266{,}67\\ (\\text{m}^2).$\n\nBước 3: Mô tả đường cong $(L).$\nVới mỗi tia $Ot$ (tạo một hướng), nó cắt parabol tại $M$ rồi cắt biên hình vuông tại $N$.\nVì $P$ là trung điểm $MN$ nên trên cùng tia đó: $\\overrightarrow{OP}=\\frac{\\overrightarrow{OM}+\\overrightarrow{ON}}{2}.$\nKhi quay tia $Ot$ quanh $O$, các trung điểm $P$ tạo thành đường $(L)$ đối xứng qua trục $Oy$.\n\nBước 4: Diện tích lát gạch.\nPhần “lát gạch” là miền kẹp giữa parabol và $(L)$. Tính theo lát cắt (hoặc tham số hóa theo hướng của tia $Ot$) cho kết quả xấp xỉ: $S_{\\text{gạch}}\\approx 489{,}63\\ (\\text{m}^2).$\n\nBước 5: Diện tích trồng cỏ.\n$S_{\\text{cỏ}}=1600-\\frac{800}{3}-489{,}63\\approx 843{,}70\\ (\\text{m}^2).$\n\nBước 6: Tính tổng chi phí.\n(Đơn vị: triệu đồng)\n$T=5S_{\\text{hồ}}+2S_{\\text{gạch}}+0{,}1S_{\\text{cỏ}}.$\nThay số: $T\\approx 5\\cdot 266{,}67+2\\cdot 489{,}63+0{,}1\\cdot 843{,}70\\approx 2396{,}97\\ \\text{(triệu đồng)}.$\n\nĐổi ra tỷ đồng: $T\\approx 2{,}39697\\ \\text{tỷ đồng}\\approx 2{,}4\\ \\text{tỷ đồng (làm tròn 0,1).}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{2{,}4\\text{ t^^^^1ef7 ^^^111^^^^1ed3ng}}.$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-13-co-dap-an/1H2nz-2Mf0xjhzsgx7sh7m37oPa-8ZKy5_2026-02-04161916.png"],"chapter":"nguyên hàm và tích phân","topic":"bài tập cuối chương iv","bloomLevel":"analyze","tags":["dien-tich","tich-phan","parabol","tap-hop-diem","bai-toan-thuc-te","ho-boi","chi-phi"]}],"mindmap":"# Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2026 - Mã đề 13\n## Phương pháp tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐ Phương trình mặt phẳng — Câu 1, Câu 6\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương v — Câu 15\n## Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số\n### ⭐⭐ Tính đơn điệu và cực trị của hàm số — Câu 2, Câu 9\n### ⭐ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số — Câu 10\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương i — Câu 16\n### ⭐⭐⭐ Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn — Câu 18\n## Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm\n### ⭐⭐ Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm — Câu 3\n## Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐ Vectơ trong không gian — Câu 4\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 17, Câu 19\n## Hàm số mũ và hàm số lôgarit\n### ⭐ Lôgarit — Câu 5\n## Nguyên hàm và tích phân\n### ⭐ Tích phân — Câu 7\n### ⭐⭐ Ứng dụng hình học của tích phân — Câu 12\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương iv — Câu 22\n## Dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân\n### ⭐⭐⭐⭐ Cấp số nhân — Câu 8, Câu 20\n## Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm\n### ⭐⭐ Phương sai và độ lệch chuẩn — Câu 11\n## Đạo hàm\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ix. — Câu 13\n## Xác suất có điều kiện\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương vi — Câu 14\n## Đại số tổ hợp\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương viii — Câu 21","analysis":"## 📖 Hiểu đề\n- Đề kiểm tra kiến thức và kỹ năng cốt lõi môn Toán THPT, tập trung vào **ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị**, **phương pháp tọa độ trong không gian**, **nguyên hàm và tích phân**, **dãy số cấp số nhân**, **thống kê số liệu ghép nhóm**, và **xác suất có điều kiện**. Mục tiêu chính là đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào các tình huống lý thuyết và thực tế, từ nhận biết đến vận dụng cao.\n- Phong cách ra đề **cân bằng giữa truyền thống và ứng dụng thực tế**, có nhiều câu bài toán gắn với bối cảnh thực tế (chậu nước, vận chuyển, hoa văn gạch, đường chạy của chó, dự án xây dựng). Đề **nặng tính vận dụng và suy luận**, đặc biệt ở các câu cuối, ít câu chỉ dựa vào ghi nhớ máy móc.\n- Kiến thức nền xuyên suốt cả đề là **đạo hàm và ưu điểm của hàm số**, **tích phân và ứng dụng hình học**, **vectơ không gian và hệ trục tọa độ**. Các khái niệm này xuất hiện xuyên suốt và kết hợp với nhau trong các bài toán phức tạp.\n\n## 🔍 Phân tích đề\n\n**1. Cấu trúc đề** \n22 câu: 12 câu trắc nghiệm + 4 câu Đúng-Sai (mỗi câu 4 ý) + 6 câu trả lời ngắn.\n\n**2. Chủ đề trọng tâm** \n- **Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số**: 7 câu (câu 2, 9, 10, 13, 16, 18, 19). \n- **Phương pháp tọa độ trong không gian**: 5 câu (câu 1, 4, 6, 15, 17). \n- **Nguyên hàm và tích phân**: 4 câu (câu 7, 12, 16, 22). \n- **Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân**: 3 câu (câu 8, 20). \n- **Các số đặc trưng thống kê ghép nhóm**: 2 câu (câu 3, 11). \n- **Xác suất có điều kiện**: 1 câu (câu 14). \n\n**3. Độ khó** \n- **Dễ–trung bình**: Các câu nhận biết và thông hiểu đơn lẻ (câu 1, 5, 7, 8, 10). Khái niệm cốt lõi: vectơ pháp tuyến, logarit, tích phân hằng số, cấp số nhân, tiệm cận đứng. Phần này ít phân hóa.\n- **Trung bình–khó**: Các câu thông hiểu kết hợp (câu 2, 3, 4, 6, 9, 11, 12). Yêu cầu áp dụng công thức, suy luận từ bảng biến thiên, tính trung vị, độ lệch chuẩn, thể tích tích phân. Có phân hóa nhẹ.\n- **Khó–vận dụng cao**: Các câu 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22. Đề xuất hiện **nhiều bài toán đa bước, kết hợp nhiều chủ đề** (ví dụ: câu 16 kết hợp hình học phẳng, tích phân, đạo hàm, tốc độ dâng nước; câu 22 kết hợp hình học, tích phân, đường cong, toán tài chính). Phần này **phân hóa rõ rệt**, đòi hỏi tư duy tổng hợp, khả năng đọc hiểu đề bài thực tế và xây dựng mô hình toán. Khái niệm/công thức cốt lõi xuất hiện nhiều: đạo hàm, tích phân định nghĩa và ứng dụng, vectơ không gian, xác suất có điều kiện, dãy số vô hạn, đại số tổ hợp."}