{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2026 - Mã đề 09","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"698209adc7f4449be1d5cbd6","section":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"698209adc7f4449be1d5cbd7","section":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"698209adc7f4449be1d5cbd8","section":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Nghiệm của phương trình $2^{x-1}=3$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$x=3$","correct":false,"reason":"Sai vì khi $x=3$ thì $2^{3-1}=2^2=4 \\neq 3$."},{"label":"B","text":"$x=1+\\log_2 3$","correct":false,"reason":"Tương đương với C vì $\\log_2 6 = \\log_2(2\\cdot 3) = 1+\\log_2 3$, nhưng đây là dạng biến đổi từ đáp án C chứ không phải dạng trực tiếp nhất."},{"label":"C","text":"$x=\\log_2 6$","correct":true,"reason":"Đúng vì $2^{x-1}=3 \\Leftrightarrow 2^x=6 \\Leftrightarrow x=\\log_2 6$ theo định nghĩa logarit."},{"label":"D","text":"$x=2$","correct":false,"reason":"Sai vì khi $x=2$ thì $2^{2-1}=2^1=2 \\neq 3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nPhương trình: $2^{x-1}=3$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tìm nghiệm của phương trình mũ $2^{x-1}=3$. \n\nKiến thức cần dùng: tính chất phép chia lũy thừa, định nghĩa logarit cơ bản và công thức chuyển đổi logarit (nhất là $\\log_a(bc)=\\log_a b+\\log_a c$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBắt đầu từ phương trình đã cho: $2^{x-1}=3.$\n\nNhân cả hai vế với $2$ (hoặc viết $2^{x-1}=\\dfrac{2^x}{2}$) để đưa về dạng $2^x$:\n$2^{x-1}=\\dfrac{2^x}{2}=3 \\Rightarrow 2^x=6.$\n\nLấy logarit cơ số $2$ của hai vế (hoặc áp dụng định nghĩa logarit): \n$x=\\log_2 6.$\n\nTa cũng có thể viết dưới dạng khác bằng cách tách $6=2\\cdot 3$ và dùng tính chất logarit:\n$\\log_2 6=\\log_2(2\\cdot3)=\\log_2 2+\\log_2 3=1+\\log_2 3.$\n\nVậy hai dạng $x=\\log_2 6$ và $x=1+\\log_2 3$ là tương đương nhau.\n\n✅ Đáp án: C. $x=\\log_2 6$","chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit","bloomLevel":"remember","tags":["phương-trình-mũ","logarit","biến-đổi-số-mũ","tìm-nghiệm"]},{"id":2,"text":"Giá trị cực đại của hàm số $f(x)=2x^3-9x^2-24x+1$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"−1","correct":false,"reason":"$-1$ là hoành độ của điểm cực đại ($x=-1$), không phải giá trị cực đại của hàm số. Giá trị cần tìm là $f(-1)$ chứ không phải $x=-1$."},{"label":"B","text":"14","correct":true,"reason":"Tại điểm cực đại $x=-1$, ta có $f(-1)=2(-1)^3-9(-1)^2-24(-1)+1=14$. Đây chính là giá trị cực đại cần tìm."},{"label":"C","text":"4","correct":false,"reason":"$4$ là hoành độ của điểm cực tiểu ($x=4$), không phải giá trị cực đại. Tại $x=4$ hàm số đạt giá trị cực tiểu $f(4)=-111$."},{"label":"D","text":"−111","correct":false,"reason":"$-111$ là giá trị cực tiểu của hàm số tại $x=4$ (vì $f(4)=2\\cdot 4^3-9\\cdot 4^2-24\\cdot 4+1=-111$), không phải giá trị cực đại."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=2x^3-9x^2-24x+1$. \n\nYêu cầu: tìm giá trị cực đại của hàm số. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị lớn nhất tại điểm cực đại của hàm số (nếu có). \n\nCần dùng kiến thức: đạo hàm để tìm điểm tới hạn và xét dấu đạo hàm thứ hai (bài toán cực trị của hàm số đa thức bậc ba).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm bậc nhất: $f'(x)=\\frac{d}{dx}(2x^3-9x^2-24x+1)=6x^2-18x-24.$\n\nGiải phương trình $f'(x)=0$: \n$6x^2-18x-24=0 \\;\\Rightarrow\\; x^2-3x-4=0.$\nPhân tích: $(x-4)(x+1)=0 \\;\\Rightarrow\\; x=4 \\text{ hoặc } x=-1.$\n\nDùng đạo hàm bậc hai để phân loại: \n$f''(x)=\\frac{d}{dx}(6x^2-18x-24)=12x-18.$\nTại $x=4$: $f''(4)=12\\cdot4-18=48-18=30>0$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. \n\nTại $x=-1$: $f''(-1)=12(-1)-18=-12-18=-30<0$ nên $x=-1$ là điểm cực đại.\n\nTính giá trị hàm tại điểm cực đại $x=-1$: \n$f(-1)=2(-1)^3-9(-1)^2-24(-1)+1=-2-9+24+1=14.$\n\n✅ Đáp án: $B. 14$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["cực-trị","đạo-hàm","hàm-bậc-ba","tính-toán"]},{"id":3,"text":"Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Khẳng định nào sau đây đúng?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{BC}$","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{A'C'} = \\overrightarrow{AC}$ (vectơ các cạnh tương ứng của hai đáy lăng trụ bằng nhau), nên $\\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{A'C'} = \\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{BC}$ theo quy tắc hình tam giác."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{BC'}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{BC'} = \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{CC'} = \\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{AA'} \\neq \\overrightarrow{BC}$ (có thêm thành phần vectơ cạnh bên)."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{C'B}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{C'B} = \\overrightarrow{C'C} + \\overrightarrow{CB} = -\\overrightarrow{AA'} - \\overrightarrow{BC} \\neq \\overrightarrow{BC}$ (ngược hướng và sai giá trị)."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{B'C}$","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{B'C} = \\overrightarrow{B'B} + \\overrightarrow{BC} = -\\overrightarrow{AA'} + \\overrightarrow{BC} \\neq \\overrightarrow{BC}$ (thiếu vectơ cạnh bên so với phương án B nhưng dấu ngược lại)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (hai đáy $ABC$ và $A'B'C'$ song song và bằng nhau; các cạnh bên $AA',BB',CC'$ song song và bằng nhau).\n\nCác lựa chọn đưa ra các đẳng thức về tổng các vectơ (đơn vị tùy theo định hướng điểm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu kiểm tra khẳng định nào đúng về đẳng thức vectơ trong lăng trụ. \n\nCần vận dụng kiến thức về:\nTính chất vectơ trong tam giác: $\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{BC}.$\n\nTính chất lăng trụ: hai đáy bằng và song song nên các vectơ tương ứng bằng nhau, cụ thể $\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{AC}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì trong tam giác $ABC$ theo quy tắc hình học vectơ (quy tắc hình tam giác) ta có: $\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{BC}.$\n\nDo $A'B'C'$ là đáy tương ứng của lăng trụ, đáy trên song song và bằng đáy dưới, nên vectơ từ $A'$ đến $C'$ bằng vectơ từ $A$ đến $C$: $\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{AC}.$\n\nThay $\\overrightarrow{A'C'}$ bằng $\\overrightarrow{AC}$ vào đẳng thức ở trên: $\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{AC}=\\overrightarrow{BC}.$\n\nVậy đẳng thức $\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{BC}$ là đúng.\n\n✅ Đáp án: A. $\\overrightarrow{BA}+\\overrightarrow{A'C'}=\\overrightarrow{BC}$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","bloomLevel":"understand","tags":["vectơ","phép-cộng-vectơ","hình-lăng-trụ","đẳng-thức-vectơ"]},{"id":4,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên đoạn $[-1;6]$ và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$(−1;2)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(-1; 2)$, đồ thị hàm số đi lên (đồng biến) từ $x=-1$ đến điểm cực đại gần $x=0$ rồi mới đi xuống đến $x=2$, nên hàm không nghịch biến trên toàn bộ khoảng này."},{"label":"B","text":"$(0;2)$","correct":true,"reason":"Trên khoảng $(0; 2)$, khi $x$ tăng dần thì giá trị $f(x)$ giảm dần (đồ thị đi xuống từ trục tung đến điểm cực tiểu tại $x=2$), thỏa mãn định nghĩa hàm nghịch biến."},{"label":"C","text":"$(2;6)$","correct":false,"reason":"Trên khoảng $(2; 6)$, đồ thị là đoạn thẳng có hệ số góc dương (đi lên), nên hàm số đồng biến chứ không nghịch biến."},{"label":"D","text":"$(−2;0)$","correct":false,"reason":"Khoảng $(-2; 0)$ chứa phần $(-2; -1)$ nằm ngoài miền xác định $[-1; 6]$; trên phần $(-1; 0)$ thuộc miền xác định, hàm số lại đồng biến (đồ thị đi lên) từ $x=-1$ đến điểm cực đại."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ xác định trên đoạn $[-1;6]$ và có đồ thị như hình kèm theo.\n\nĐồ thị gồm hai đoạn: một đường cong màu xanh từ $x=-1$ đến $x=2$ (đạt cực đại gần $x\\approx -0.5$ đến $0$ rồi giảm đến điểm cực tiểu tại $x=2$), và một đoạn thẳng màu nâu tăng từ điểm tại $x=2$ đến $x=6$.\n\nTrên đồ thị có các đường nét đứt dọc tại $x=-1,\\;x=2,\\;x=6$ để đánh dấu các điểm đặc biệt.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hàm số đã cho nghịch biến (tức là giảm) trên khoảng nào trong các đáp án cho trước?\n\nCần vận dụng khái niệm nghịch biến: với mọi $x_1f(x_2)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐầu tiên, nhớ định nghĩa: một hàm nghịch biến trên khoảng $I$ khi\n$\\forall x_1,x_2\\in I,\\ x_1f(x_2).$\n\nNhìn vào đồ thị (theo mô tả hình): \nTừ $x=-1$ đồ thị tăng lên đến một cực đại gần $x\\approx -0.5$–0, nên trên khoảng $(-1,\\text{cực đại})$ hàm không giảm. \n\nTừ điểm cực đại đó tiếp tục đi xuống, đồ thị giảm cho đến điểm cực tiểu tại $x=2$. Vì điểm cực đại nằm khoảng trước $x=0$ (gần $-0.5$–0), nên đoạn giảm chứa toàn bộ khoảng $(0,2)$. \n\nTừ $x=2$ trở đi đồ thị là một đường thẳng đi lên (tăng), nên không giảm trên $(2,6)$.\n\nKiểm tra các đáp án: \nA: $(−1;2)$ — sai vì trên phần đầu (từ $-1$ đến cực đại) đồ thị tăng. \n\nB: $(0;2)$ — đúng vì giữa $0$ và $2$ đồ thị đi xuống từ phía dương qua trục x đến điểm cực tiểu tại $2$. Mọi $x_1f(x_2)$. \n\nC: $(2;6)$ — sai vì sau $2$ đồ thị tăng. \n\nD: $(−2;0)$ — không nằm hoàn toàn trong miền định nghĩa $[-1,6]$ và phần $(-1,0)$ không hoàn toàn giảm.\n\n✅ Đáp án: $B. (0;2)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1ukJ-etelYQkw9nUGg_EqPIYP2yZmZ3bX_2026-02-03144352.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tính-đơn-điệu","đồ-thị-hàm-số","khoảng-nghịch-biến","đọc-đồ-thị"]},{"id":5,"text":"Trong không gian, cho ba vectơ $\\vec{a},\\vec{b},\\vec{c}$ và số thực $k$. Khẳng định nào sau đây sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=\\vec{b}\\cdot\\vec{a}$","correct":false,"reason":"Tích vô hướng có tính giao hoán, do đó $\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = \\vec{b}\\cdot\\vec{a}$ luôn đúng với mọi vectơ $\\vec{a}, \\vec{b}$."},{"label":"B","text":"$(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2=(a^2)(b^2)$","correct":true,"reason":"Theo định nghĩa $\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos\\theta$, suy ra $(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2 = |\\vec{a}|^2|\\vec{b}|^2\\cos^2\\theta \\leq |\\vec{a}|^2|\\vec{b}|^2 = a^2b^2$. Dấu bằng chỉ xảy ra khi $\\cos\\theta = \\pm 1$ (hai vectơ cùng phương), nên khẳng định không đúng với trường hợp tổng quát."},{"label":"C","text":"$\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c})=\\vec{a}\\cdot\\vec{b}+\\vec{a}\\cdot\\vec{c}$","correct":false,"reason":"Tích vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng vectơ, vì vậy $\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{a}\\cdot\\vec{b} + \\vec{a}\\cdot\\vec{c}$ luôn đúng."},{"label":"D","text":"$(k\\vec{a})\\cdot\\vec{b}=k(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})=\\vec{a}\\cdot(k\\vec{b})$","correct":false,"reason":"Tích vô hướng kết hợp với nhân vô hướng theo tính chất $(k\\vec{a})\\cdot\\vec{b} = k(\\vec{a}\\cdot\\vec{b}) = \\vec{a}\\cdot(k\\vec{b})$, đây là tính chất cơ bản của tích vô hướng."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong không gian, cho ba vectơ $\\vec{a},\\vec{b},\\vec{c}$ và số thực $k$. \n\nCần chọn khẳng định sai trong các lựa chọn. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài yêu cầu xác định khẳng định nào trong các tính chất liên quan đến tích vô hướng của vectơ là sai. \n\nCần áp dụng các kiến thức cơ bản về tích vô hướng: công thức đại số và quan hệ với độ lớn vectơ và góc giữa hai vectơ.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại định nghĩa/tính chất cơ bản của tích vô hướng:\n$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=|\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|\\cos\\theta$ với $\\theta$ là góc giữa $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$.\n\nDo đó $(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2 = |\\vec{a}|^2\\,|\\vec{b}|^2\\cos^2\\theta.$\n\nPhân tích khẳng định cần kiểm tra (lựa chọn B): \nKhẳng định B là $(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2=(a^2)(b^2).$ \n\nỞ đây ký hiệu $a^2$ và $b^2$ hiểu là $|\\vec{a}|^2$ và $|\\vec{b}|^2$.\n\nSo sánh với biểu thức đúng từ định nghĩa:\nTừ công thức trên, để có $(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2 = |\\vec{a}|^2\\,|\\vec{b}|^2$ thì cần $\\cos^2\\theta = 1$, tức là $\\cos\\theta = \\pm 1$ hay góc $\\theta = 0$ hoặc $\\theta=\\pi$ (hai vectơ cùng phương hoặc ngược phương).\n\nVậy phương trình chỉ đúng khi $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$ song song (cùng hoặc ngược hướng). Nó không đúng với mọi cặp vectơ nói chung.\n\nDùng phản ví dụ đơn giản:\nChọn $\\vec{a}=(1,0,0),\\ \\vec{b}=(0,1,0)$ (vuông góc). \nTa có $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=0\\Rightarrow (\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2=0.$ \n\nNhưng $|\\vec{a}|^2=1,\\ |\\vec{b}|^2=1\\Rightarrow (a^2)(b^2)=1.$ \n\nRõ ràng $0\\neq 1$, nên khẳng định B sai.\n\nKiểm tra nhanh các lựa chọn còn lại:\nA: $\\vec{a}\\cdot\\vec{b}=\\vec{b}\\cdot\\vec{a}$ — đúng (tích vô hướng giao hoán). \n\nC: $\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c})=\\vec{a}\\cdot\\vec{b}+\\vec{a}\\cdot\\vec{c}$ — đúng (tính phân phối). \n\nD: $(k\\vec{a})\\cdot\\vec{b}=k(\\vec{a}\\cdot\\vec{b})=\\vec{a}\\cdot(k\\vec{b})$ — đúng (nhân vô hướng với vô hướng).\n\n✅ Đáp án: $B. \\; (\\vec{a}\\cdot\\vec{b})^2=(a^2)(b^2)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"understand","tags":["tích-vô-hướng","tính-chất-vectơ","phép-toán-vectơ"]},{"id":6,"text":"Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=-1$, công sai $d=3$. Tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"11","correct":false,"reason":"Đây là giá trị của số hạng thứ 5 ($u_5 = -1 + 4 \\cdot 3 = 11$), không phải tổng của 5 số hạng đầu tiên. Phương án này nhầm lẫn giữa số hạng riêng lẻ và tổng dãy số."},{"label":"B","text":"−5","correct":false,"reason":"Có thể do tính nhầm $5u_1 = 5 \\cdot (-1) = -5$ mà bỏ qua công sai $d$, hoặc cộng sai các số hạng. Tổng đúng của 5 số hạng đầu tiên phải là $25$."},{"label":"C","text":"25","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức $S_n = \\frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$ hoặc $S_n = \\frac{n(u_1+u_n)}{2}$, ta có $S_5 = \\frac{5}{2}[2(-1) + 4 \\cdot 3] = \\frac{5(-1+11)}{2} = 25$."},{"label":"D","text":"50","correct":false,"reason":"Kết quả này xuất phát từ việc quên chia cho 2 trong công thức tổng: $5(u_1 + u_5) = 5 \\cdot 10 = 50$ thay vì $\\frac{5(u_1+u_5)}{2} = 25$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = -1$.\n\nCông sai $d = 3$.\n\nYêu cầu: tính tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm $S_5$ — tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.\n\nCần áp dụng các kiến thức: công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên.\n\nCác khái niệm quan trọng: cấp số cộng, công sai, số hạng tổng quát, tổng n số hạng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCông thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$.\n\nTính số hạng thứ 5: $u_5 = u_1 + (5-1)d = -1 + 4\\cdot 3 = -1 + 12 = 11.$\n\nCông thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n = \\frac{n(u_1 + u_n)}{2}.$\n\nÁp dụng cho $n=5$: $S_5 = \\frac{5(u_1 + u_5)}{2} = \\frac{5(-1 + 11)}{2} = \\frac{5\\cdot 10}{2} = 25.$\n\n(Kiểm tra bằng cách cộng từng số hạng: $-1 + 2 + 5 + 8 + 11 = 25$, khớp với kết quả trên.)\n\n✅ Đáp án: $C. 25$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số cộng","bloomLevel":"remember","tags":["cấp-số-cộng","tổng-n-số-hạng","công-thức-tổng"]},{"id":7,"text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4-8x^2+a,,(a\\in\\mathbb{R})$ trên đoạn $[-1;3]$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$−6$","correct":false,"reason":"Giá trị $-6$ là hằng số không chứa $a$, trong khi giá trị nhỏ nhất của hàm số phụ thuộc vào tham số $a$ theo biểu thức $-16+a$. Phương án này chỉ đúng nếu $a=10$, không đúng với mọi $a \\in \\mathbb{R}$."},{"label":"B","text":"$a$","correct":true,"reason":"Tuy $f(0)=a$, nhưng tại $x=2 \\in [-1;3]$ ta có $f(2)=-16+a < a$ (vì $-16<0$), nên $a$ không phải là giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã cho."},{"label":"C","text":"$−16+a$","correct":false,"reason":"Đúng. Đạo hàm $f'(x)=4x(x-2)(x+2)$ cho các điểm tới hạn $x=0,2$ thuộc $[-1;3]$. So sánh $f(-1)=-7+a$, $f(0)=a$, $f(2)=-16+a$, $f(3)=9+a$, ta thấy $-16+a$ nhỏ nhất do $-16<-7<0<9$."},{"label":"D","text":"$9+a$","correct":false,"reason":"Giá trị $9+a$ tương ứng với $f(3)$, thực chất là giá trị lớn nhất (maximum) trên đoạn $[-1;3]$ vì $9$ lớn hơn các hệ số $-16,-7,0$, chứ không phải giá trị nhỏ nhất."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $f(x)=x^4-8x^2+a,\\quad a\\in\\mathbb{R}$ \n\nXét trên đoạn $[-1;3]$ \n\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó. \n\nCâu hỏi yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc 4 có tham số $a$ trên đoạn $[-1;3]$. \n\nKiến thức cần dùng: đạo hàm để tìm điểm tới hạn trong đoạn, đồng thời so sánh giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút của đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính đạo hàm: \n$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2).$\n\nTìm điểm tới hạn (nghiệm của $f'(x)=0$): $x=-2,\\,0,\\,2.$ Trong đó trên đoạn $[-1;3]$ ta chỉ quan tâm tới $x=0$ và $x=2$ (vì $-2\\notin[-1,3]$). \n\nCộng thêm hai đầu mút của đoạn: $x=-1$ và $x=3$. \n\nTính giá trị hàm tại các điểm cần xét: \n$f(0)=0^4-8\\cdot0^2+a=a.$ \n\n$f(2)=2^4-8\\cdot2^2+a=16-32+a=-16+a.$ \n\n$f(-1)=(-1)^4-8\\cdot(-1)^2+a=1-8+a=-7+a.$ \n\n$f(3)=3^4-8\\cdot3^2+a=81-72+a=9+a.$\n\nSo sánh các giá trị: $a,\\ -16+a,\\ -7+a,\\ 9+a.$ Thành phần không phụ thuộc vào $a$ là các hệ số trước $+a$; trong bốn số này nhỏ nhất là $-16+a$ (vì $-16< -7<0<9$). Vậy giá trị nhỏ nhất của $f$ trên đoạn là $-16+a$, đạt tại $x=2$.\n\n✅ Đáp án: $\\text{C. }-16+a$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"apply","tags":["giá-trị-nhỏ-nhất","đạo-hàm","hàm-trùng-phương","khảo-sát-trên-đoạn"]},{"id":8,"text":"Tập giá trị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$[-1;5]$","correct":false,"reason":"Đây là miền xác định (domain) của biến $x$, không phải tập giá trị của hàm số. Theo đồ thị, giá trị $y$ chỉ biến thiên trong đoạn $[-1;3]$ và không bao giờ đạt giá trị $5$."},{"label":"B","text":"$[1;3]$","correct":false,"reason":"Phương án này thiếu các giá trị từ $-1$ đến $1$. Theo đồ thị, tại $x=5$ hàm số có giá trị $y=-1$ (điểm chấm đặc), nên giá trị nhỏ nhất là $-1$ chứ không phải $1$."},{"label":"C","text":"$[-1;3]$","correct":true,"reason":"Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm là $3$ (tại điểm cực đại $x=1$) và giá trị nhỏ nhất là $-1$ (tại $x=5$). Do đồ thị liên tục trên $[-1;5]$ nên hàm nhận mọi giá trị trong đoạn $[-1;3]$."},{"label":"D","text":"$[1;5]$","correct":false,"reason":"Sai vì giá trị lớn nhất của $y$ chỉ là $3$ (tại $x=1$), không phải $5$. Đây có thể là do nhầm lẫn hoành độ $x=5$ với tung độ, hoặc lấy nhầm giá trị tại $x=-1$ làm giá trị nhỏ nhất."}],"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị hàm số trên đoạn xác định từ $x=-1$ đến $x=5$ (có các điểm đánh dấu).\n\nHàm bắt đầu tại điểm $(-1,1)$, đạt cực đại tại $(1,3)$ và kết thúc tại $(5,-1)$ (các điểm đều là chấm đặc).\n\nĐường cong liên tục: từ $(-1,1)$ đi lên đến $(1,3)$ rồi đi xuống thẳng đến $(5,-1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tập giá trị (range) của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;5]$ là gì?\n\nCần xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $y$ trên đoạn, và vì đồ thị liên tục trên đoạn nên tất cả các giá trị giữa min và max đều được hàm nhận.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDùng thông tin từ đồ thị (mô tả ảnh):\nHàm tại $x=-1$ có giá trị $y=1$ (điểm bắt đầu).\n\nHàm có cực đại tại $x=1$ là $y=3$ (chấm đặc tại $(1,3)$), nên giá trị lớn nhất trên đoạn là $3$.\n\nHàm tại $x=5$ có giá trị $y=-1$ (chấm đặc tại $(5,-1)$), nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn là $-1$.\n\nVì đồ thị từ $x=-1$ đến $x=1$ tăng từ $y=1$ đến $y=3$, và từ $x=1$ đến $x=5$ giảm từ $y=3$ đến $y=-1$, nên mọi giá trị $y$ giữa $-1$ và $3$ đều xuất hiện trên đồ thị (liên tục).\n\nDo đó tập giá trị của hàm trên đoạn $[-1;5]$ là đoạn giá trị từ $-1$ đến $3$, bao gồm cả hai đầu mút: $[-1;3]$.\n\n✅ Đáp án: C. $[-1;3]$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1O9MUu7JNDciIlAobHGApjqWFvRcQOlJm_2026-02-03144350.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tập-giá-trị","đồ-thị-hàm-số","đọc-đồ-thị"]},{"id":9,"text":"Mỗi ngày bác Bình đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $\\text{km}$) của bác Bình trong 20 ngày được thống kê lại như bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên bảng là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"1,2","correct":false,"reason":"Sai vì có thể do lấy nhầm cận trên của lớp thứ tư ($3,9$) hoặc cận dưới của lớp thứ hai ($3,0$) để tính hiệu với cận biên đối diện, ví dụ $4,2-3,0=1,2$ hoặc $3,9-2,7=1,2$, thay vì lấy cận trên lớp cuối trừ cận dưới lớp đầu."},{"label":"B","text":"362","correct":false,"reason":"Sai vì $362$ là giá trị không liên quan đến khoảng biến thiên, có thể do nhầm lẫn tính toán hoặc đơn vị, trong khi khoảng biến thiên phải là hiệu của hai biên và có giá trị nhỏ hơn nhiều."},{"label":"C","text":"3,39","correct":false,"reason":"Sai vì $3,39$ chính là giá trị trung bình của mẫu số liệu ($\\bar{x}=\\frac{2,85 \\cdot 3 + 3,15 \\cdot 6 + 3,45 \\cdot 5 + 3,75 \\cdot 4 + 4,05 \\cdot 2}{20}=3,39$), không phải là khoảng biến thiên."},{"label":"D","text":"1,5","correct":true,"reason":"Đúng vì khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm được tính bằng hiệu cận trên của lớp cuối và cận dưới của lớp đầu: $R = 4,2 - 2,7 = 1,5$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng tần suất cho quãng đường (km) trong 20 ngày: các lớp khoảng là [2,7; 3,0), [3,0; 3,3), [3,3; 3,6), [3,6; 3,9), [3,9; 4,2).\n\nTần suất tương ứng (số ngày): 3, 6, 5, 4, 2 (tổng = 20 ngày).\n\nYêu cầu: tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính khoảng biến thiên (range) của dữ liệu được cho theo lớp.\n\nKiến thức cần dùng: định nghĩa khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu; với dữ liệu ghép nhóm ta lấy mốc biên của lớp đầu và lớp cuối làm min và max.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nNhắc lại công thức: $\\text{Khoảng biến thiên} = \\max - \\min$\n\nVới dữ liệu ghép nhóm:\nGiá trị nhỏ nhất (min) được lấy là biên dưới của lớp đầu: $\\min = 2,7.$\n\nGiá trị lớn nhất (max) được lấy là biên trên của lớp cuối: $\\max = 4,2.$\n\nThay vào công thức:\n$\\text{Khoảng biến thiên} = 4,2 - 2,7 = 1,5.$\n\nNhận xét: vì bảng cho theo các lớp [2,7;...;4,2), ta dùng biên của lớp cuối (4,2) và biên của lớp đầu (2,7) để ước lượng khoảng biến thiên.\n\n✅ Đáp án: $D. 1,5$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1KEsO6cwFbeKwebEvKrjsBewQAzMVt58P_2026-02-03144350.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị","bloomLevel":"remember","tags":["khoảng-biến-thiên","mẫu-số-liệu-ghép-nhóm","thống-kê"]},{"id":10,"text":"Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(3;1;0)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$(2;1;1)$","correct":true,"reason":"Áp dụng đúng công thức trung điểm $M\\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2};\\dfrac{y_A+y_B}{2};\\dfrac{z_A+z_B}{2}\\right)$, ta tính được $M\\left(\\dfrac{1+3}{2};\\dfrac{1+1}{2};\\dfrac{2+0}{2}\\right)=(2;1;1)$."},{"label":"B","text":"$(4;2;2)$","correct":false,"reason":"Sai do lấy tổng tọa độ $(x_A+x_B;y_A+y_B;z_A+z_B)=(4;2;2)$ mà quên chia cho 2 theo công thức trung điểm."},{"label":"C","text":"$(2;0;-2)$","correct":false,"reason":"Sai do tính sai tung độ ($0$ thay vì $\\frac{1+1}{2}=1$) và cao độ ($-2$ thay vì $\\frac{2+0}{2}=1$)."},{"label":"D","text":"$(1;0;-1)$","correct":false,"reason":"Sai do hoành độ là $1$ thay vì $\\frac{1+3}{2}=2$, đồng thời tung độ và cao độ cũng không đúng theo công thức trung điểm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm A có toạ độ $A(1;1;2)$. \n\nĐiểm B có toạ độ $B(3;1;0)$. \n\nBài toán yêu cầu tìm trung điểm của đoạn thẳng $AB$ trong không gian $Oxyz$. \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán hỏi: toạ độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm A và B là gì? \n\nCần áp dụng công thức trung điểm trong không gian 3 chiều:\n$M\\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2},\\dfrac{y_A+y_B}{2},\\dfrac{z_A+z_B}{2}\\right).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết công thức trung điểm cho hai điểm $A(x_A,y_A,z_A)$ và $B(x_B,y_B,z_B)$: \n$M\\left(\\dfrac{x_A+x_B}{2},\\dfrac{y_A+y_B}{2},\\dfrac{z_A+z_B}{2}\\right).$\n\nThay toạ độ của $A(1;1;2)$ và $B(3;1;0)$ vào công thức: \n$M\\left(\\dfrac{1+3}{2},\\dfrac{1+1}{2},\\dfrac{2+0}{2}\\right).$\n\nTính từng thành phần: \nHoành độ: $\\dfrac{1+3}{2}=\\dfrac{4}{2}=2.$ \n\nTung độ: $\\dfrac{1+1}{2}=\\dfrac{2}{2}=1.$ \n\nCao độ (tọa độ z): $\\dfrac{2+0}{2}=\\dfrac{2}{2}=1.$\n\nVậy trung điểm có toạ độ $M(2;1;1)$, tương ứng với đáp án trong danh sách lựa chọn.\n\n✅ Đáp án: $A. (2;1;1)$","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"hệ trục tọa độ trong không gian","bloomLevel":"remember","tags":["trung-điểm","tọa-độ","oxyz"]},{"id":11,"text":"Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\\dfrac{x^2+2x-2}{x-2}$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$y=-x+3$","correct":false,"reason":"Phương án A sai vì hệ số góc phải là $1$ (từ phép chia $\\frac{x^2}{x}$), không phải $-1$, và hệ số tự do cũng không đúng theo kết quả phép chia đa thức."},{"label":"B","text":"$y=x+3$","correct":false,"reason":"Phương án B sai hệ số tự do, vì sau khi chia $x^2+2x-2$ cho $x-2$ ta được thương $x+4$ (dư $6$), nên tiệm cận xiên phải là $y=x+4$, không phải $y=x+3$."},{"label":"C","text":"$y=x-3$","correct":false,"reason":"Phương án C sai hệ số tự do, vì kết quả phép chia cho thấy đường tiệm cận phải có hệ số tự do là $4$, không phải $-3$."},{"label":"D","text":"$y=x+4$","correct":true,"reason":"Phương án D đúng vì thực hiện phép chia đa thức ta có $y=x+4+\\dfrac{6}{x-2}$, nên khi $x \\to \\pm\\infty$ thì $\\dfrac{6}{x-2} \\to 0$ và đồ thị tiến tới đường thẳng $y=x+4$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\dfrac{x^2+2x-2}{x-2}$\n\nYêu cầu: tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi hỏi: \"Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là gì?\" — tức là tìm đường thẳng dạng $y=mx+b$ mà đồ thị tiến tới khi $x\\to\\pm\\infty$.\n\nKiến thức cần dùng: phép chia đa thức (chia đa thức để tìm thương và dư) và giới hạn khi $x\\to\\infty$ để xác định đường tiệm cận xiên.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức: chia tử số $x^2+2x-2$ cho mẫu $x-2$.\n\nThực hiện chia:\nLấy thuật toán chia: $x^2\\div x = x$. Nhân: $x(x-2)=x^2-2x$.\n\nLấy hiệu: $(x^2+2x-2)-(x^2-2x)=4x-2$.\n\nTiếp tục: $4x\\div x=4$. Nhân: $4(x-2)=4x-8$.\n\nLấy hiệu: $(4x-2)-(4x-8)=6$ (là phần dư).\n\nSuy ra:\n$\\dfrac{x^2+2x-2}{x-2}=x+4+\\dfrac{6}{x-2}.$\n\nKhi $x\\to\\pm\\infty$ thì $\\dfrac{6}{x-2}\\to 0$, nên đồ thị tiến tới đường thẳng\n$y=x+4.$\n\nVậy đường tiệm cận xiên là $y=x+4$.\n\n✅ Đáp án: $\\text{D. }y=x+4$","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"đường tiệm cận của đồ thị hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tiệm-cận-xiên","hàm-phân-thức","chia-đa-thức"]},{"id":12,"text":"Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(-3;1;-4)$, $B(1;-5;2)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ tại điểm","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd6","options":[{"label":"A","text":"$M(-\\tfrac13;-3;0)$","reason":"Phương trình tham số của $AB$: $x=-3+4t$, $y=1-6t$, $z=-4+6t$. Cho $z=0$ ta được $t=\\frac{2}{3}$, suy ra $x=-\\frac{1}{3}$, $y=-3$. Vậy $M(-\\frac{1}{3};-3;0)$ chính là giao điểm cần tìm.","correct":true},{"label":"B","text":"$N(\\tfrac13;3;0)$","reason":"Tọa độ điểm $N$ không thỏa mãn phương trình đường thẳng $AB$ khi $z=0$ (với $t$ từ phương trình $x$ là $t=\\frac{5}{6}$ nhưng với $y$ lại cho $t=-\\frac{1}{3}$), nên $N$ không nằm trên $AB$."},{"label":"C","text":"$P(0;3;1)$","reason":"Điểm $P$ có tung độ $z=1 \\neq 0$ nên không thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, do đó không thể là giao điểm của $AB$ với $(Oxy)$."},{"label":"D","text":"$Q(-3;1;0)$","reason":"Điểm $Q(-3;1;0)$ có vectơ chỉ phương $\\overrightarrow{AQ}=(0;0;4)$ không cùng phương với $\\overrightarrow{AB}=(4;-6;6)$ (vì $\\frac{0}{4} \\neq \\frac{0}{-6}$), nên $Q$ không thuộc đường thẳng $AB$."}],"chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"phương trình đường thẳng trong không gian","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCho hai điểm $A(-3;1;-4)$ và $B(1;-5;2)$ trong không gian $Oxyz$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(Oxy)$. Cần viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$, sau đó tìm điểm thỏa mãn $z=0$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Xác định vectơ chỉ phương $\\vec{AB} = (4;-6;6)$ hay rút gọn $(2;-3;3)$.\nBước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$ đi qua $A(-3;1;-4)$: $\\begin{cases} x = -3 + 4t \\\\ y = 1 - 6t \\\\ z = -4 + 6t \\end{cases}$.\nBước 3: Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Cho $z=0$ trong phương trình đường thẳng: $-4 + 6t = 0 \\Rightarrow t = \\frac{2}{3}$.\nBước 4: Thay $t = \\frac{2}{3}$ vào $x, y$: $x = -3 + 4 \\cdot \\frac{2}{3} = -\\frac{1}{3}$, $y = 1 - 6 \\cdot \\frac{2}{3} = -3$. Vậy giao điểm là $M(-\\frac{1}{3};-3;0)$.\n\n✅ Đáp án: A\n\n❌ Các đáp án khác:\nĐáp án B có tọa độ $(\\frac{1}{3};3;0)$ không thỏa mãn phương trình đường thẳng $AB$ vì với $x=\\frac{1}{3}$ thì $t=\\frac{5}{6}$ nhưng với $y=3$ thì $t=-\\frac{1}{3}$. Đáp án C có $z=1 \\neq 0$ nên không nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Đáp án D là hình chiếu của điểm $A$ lên $(Oxy)$ nhưng không thuộc đường thẳng $AB$ vì với $t=0$ thì $z=-4 \\neq 0$.","bloomLevel":"understand","tags":["đường-thẳng","giao-điểm-mặt-phẳng","oxyz","tham-số-hóa"]},{"id":13,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd7","statements":[{"label":"A","text":"Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.","correct":true,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$.\n\nBảng biến thiên (theo ảnh):\nTrục $x$: $-\\infty ;; -1 ;; 1 ;; +\\infty$.\n\nDấu của $y'$: giữa $-\\infty$ và $-1$ là “–”, tại $-1$ là $0$, giữa $-1$ và $1$ là “+”, tại $1$ là $0$, giữa $1$ và $+\\infty$ là “–”.\n\nGiá trị của $y$ theo ảnh: $y(-\\infty)=142,; y(-1)=8,; y(1)=38,; y(+\\infty)=14$.\n(Ảnh thể hiện hàm giảm từ $142$ tới $8$ tại $x=-1$, tăng tới $38$ tại $x=1$ rồi giảm tới $14$ khi $x\\to+\\infty$.)\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu A hỏi: đồ thị có hai đường tiệm cận ngang không? (Cần xét giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$.)\n\nCần áp dụng khái niệm: “đường tiệm cận ngang” nếu $\\lim_{x\\to\\pm\\infty} f(x)=L\\in\\mathbb{R}$ thì đường thẳng $y=L$ là tiệm cận ngang.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng biến thiên ta đọc được: $\\lim_{x\\to-\\infty} y=142$ và $\\lim_{x\\to+\\infty} y=14$ (giá trị ở các mút vô cùng trong bảng).\n\nVì hai giới hạn này đều là các số hữu hạn, theo định nghĩa, đồ thị có hai đường tiệm cận ngang tương ứng:\nTiệm cận ngang bên trái: $y=142$ vì $\\lim_{x\\to-\\infty} y=142$.\n\nTiệm cận ngang bên phải: $y=14$ vì $\\lim_{x\\to+\\infty} y=14$.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"B","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(-\\infty;+\\infty)$ bằng 8.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như ở ảnh.\n\nCác giá trị quan trọng từ bảng: $y(-\\infty)=142,\\ y(-1)=8,\\ y(1)=38,\\ y(+\\infty)=14$; dấu của $y'$ cho biết hàm giảm trên $(-\\infty,-1)$, tăng trên $(-1,1)$, giảm trên $(1,+\\infty)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(-\\infty; +\\infty)$ bằng 8?\" — cần xác định giá trị nhỏ nhất (global minimum) của hàm trên toàn bộ $\\mathbb{R}$.\n\nCần so sánh các giá trị tại điểm tới hạn và các giới hạn vô cùng để tìm giá trị nhỏ nhất.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nỨng viên để là giá trị nhỏ nhất trên $\\mathbb{R}$ gồm:\nGiá trị tại các điểm tới hạn trong bảng: $y(-1)=8,\\ y(1)=38$.\n\nCác giá trị giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$: $y(-\\infty)=142,\\ y(+\\infty)=14$ (không phải giá trị tại một điểm nhưng là giới hạn lớn nhất/nhỏ nhất tiệm cận).\n\nSo sánh các số: $8,\\ 38,\\ 142,\\ 14$ — rõ ràng số nhỏ nhất trong các số này là $8$.\n\nBảng biến thiên còn cho biết tại $x=-1$ dấu đạo hàm chuyển từ \"-\" sang \"+\" nên $x=-1$ là điểm cực tiểu (local minimum), và vì giá trị tại đó là nhỏ nhất so với các giá trị/giới hạn khác, nên đó là giá trị nhỏ nhất toàn cục.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Đúng"},{"label":"C","text":"Hàm số đồng biến trên $(8;38).$","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$, bảng biến thiên như ảnh với các giá trị\n$y(-\\infty)=142,; y(-1)=8,; y(1)=38,; y(+\\infty)=14;$\ndấu của $y'$ cho biết hàm tăng trên khoảng $(-1,1)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: “Hàm số đồng biến trên $(8;38)$.” — cần nhận ra rằng $(8;38)$ là một khoảng thuộc trục giá trị $y$, không phải trục $x$; khái niệm đồng biến/ nghịch biến phải nói trên khoảng của biến $x$.\n\nHọc sinh cần phân biệt khoảng trên trục $x$ (ví dụ $(-1,1)$) và khoảng trên trục $y$ (ví dụ $(8,38)$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ bảng biến thiên, ta thấy hàm đồng biến (tăng) trên khoảng của biến $x$ là $(-1,1)$, không phải trên một khoảng của giá trị $y$.\n\nKhoảng $(8,38)$ là khoảng giá trị của hàm (các giá trị $y$ giữa $8$ và $38$). Câu khẳng định nói hàm “đồng biến trên $(8;38)$” là sai về mặt ngữ nghĩa: ta chỉ nói hàm đồng biến trên một khoảng của biến $x$.\n\nNếu người ra đề muốn nói “hàm nhận các giá trị trong $(8,38)$ khi $x\\in(-1,1)$” thì đó là phát biểu khác; nhưng phát biểu như đã cho là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"},{"label":"D","text":"Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\\mathbb{R}$ bằng 142.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\\mathbb{R}$, bảng biến thiên cho:\n$y(-\\infty)=142,\\ y(-1)=8,\\ y(1)=38,\\ y(+\\infty)=14$.\n\nBảng cho biết hàm giảm trên $(-\\infty,-1)$, tăng trên $(-1,1)$, giảm trên $(1,+\\infty)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: \"Giá trị lớn nhất của hàm số trên $\\mathbb{R}$ bằng 142?\" — cần làm rõ khái niệm \"giá trị lớn nhất (maximum) trên $\\mathbb{R}$\" là giá trị lớn nhất thực sự đạt được bởi hàm tại một điểm $x\\in\\mathbb{R}$.\n\nKiểm tra các giá trị tại điểm tới hạn và các giới hạn ở vô cùng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCác giá trị khả dĩ cho maximum: $y(-1)=8,\\ y(1)=38$ và các giới hạn $y(-\\infty)=142,\\ y(+\\infty)=14$.\n\nMặc dù $\\lim_{x\\to-\\infty} y(x)=142$, con số $142$ là giới hạn khi $x\\to-\\infty$ chứ không phải giá trị hàm tại một điểm thực của $\\mathbb{R}$ (không tồn tại $x_0\\in\\mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)=142$ theo thông tin bảng).\n\nĐể là \"giá trị lớn nhất trên $\\mathbb{R}$\" cần tồn tại một $x_0\\in\\mathbb{R}$ với $f(x_0)=142$. Bảng biến thiên chỉ cho biết hàm tiến gần 142 khi $x\\to-\\infty$, không cho biết giá trị 142 được đạt tới tại một điểm thực nào. Do đó 142 là supremum (giá trên) của giá trị hàm nhưng không phải maximum (giá trị lớn nhất thực sự đạt được).\n\n✅ Đáp án: Kết luận: Sai"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1MG62VfOuXHH2MCMN2EPcnejdoLFw7xSj_2026-02-03144352.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"apply","tags":["bảng-biến-thiên","tiệm-cận-ngang","giá-trị-lớn-nhất","giá-trị-nhỏ-nhất","đơn-điệu"]},{"id":14,"text":"Trong không gian $Oxyz$, xem mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$; trục $Oz$ hướng lên (đơn vị trên mỗi trục là một kilomet). Tại cùng một thời điểm, một radar phát hiện một máy bay tại $A(0;0;10)$ bay theo hướng $\\vec v = (-4;3;0)$ không đổi và một xe tăng tại $O$ di chuyển theo hướng $\\vec u = (3;4;0)$ không đổi. Sau 20 giây radar xác định được vị trí máy bay tại $B(-8;6;10)$ và xe tăng tại $E\\left(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0\\right)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd7","statements":[{"label":"A","text":"Nếu máy bay và xe tăng tiếp tục giữ nguyên hướng và vận tốc không đổi thì 10 giây tiếp theo vị trí máy bay và xe tăng lần lượt là $C(-12;9;10),\\ F\\left(\\tfrac{9}{40};\\tfrac{3}{10};0\\right).$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMáy bay ban đầu tại $A(0;0;10)$, đi theo hướng $\\vec v=(-4;3;0)$.\n\nXe tăng xuất phát tại $O(0;0;0)$, đi theo hướng $\\vec u=(3;4;0)$.\n\nSau 20 giây, radar xác định máy bay tại $B(-8;6;10)$ và xe tăng tại $E\\left(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0\\right)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra vị trí của máy bay và xe tăng sau 10 giây tiếp theo nếu giữ hướng và vận tốc không đổi.\n\nÁp dụng kiến thức vận tốc không đổi, dịch chuyển tỉ lệ với thời gian.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMáy bay: dịch chuyển trong 20 s là $\\overrightarrow{AB}=B-A=(-8;6;0)$ nên vận tốc trung bình (dịch chuyển mỗi giây) là $\\dfrac{\\overrightarrow{AB}}{20}=\\left(-\\dfrac{8}{20};\\dfrac{6}{20};0\\right)=(-0{.}4;0{.}3;0).$\n\nTrong 10 s tiếp theo, dịch chuyển thêm là $10\\cdot(-0{.}4;0{.}3;0)=(-4;3;0).$\n\nVị trí mới của máy bay: $C=B+(-4;3;0)=(-8-4;\\;6+3;\\;10)=(-12;9;10).$\n\nXe tăng: từ $O$ đến $E\\left(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0\\right)$ trong 20 s, nên vận tốc (dịch chuyển mỗi giây) là $\\dfrac{E-O}{20}=\\left(\\dfrac{3}{400};\\dfrac{1}{100};0\\right).$\n\nTrong 10 s tiếp theo, dịch chuyển thêm là $10\\cdot\\left(\\dfrac{3}{400};\\dfrac{1}{100};0\\right)=\\left(\\dfrac{3}{40};\\dfrac{1}{10};0\\right).$\n\nVị trí mới của xe tăng: $F=E+\\left(\\dfrac{3}{40};\\dfrac{1}{10};0\\right)=\\left(\\dfrac{3}{20}+\\dfrac{3}{40};\\;\\dfrac{1}{5}+\\dfrac{1}{10};\\;0\\right)=\\left(\\dfrac{9}{40};\\;\\dfrac{3}{10};\\;0\\right).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Khoảng cách giữa máy bay và xe tăng sau 20 giây kể từ lúc radar phát hiện là 15 km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nVị trí sau 20 s: máy bay $B(-8;6;10)$, xe tăng $E\\left(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0\\right)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính khoảng cách giữa hai vật sau 20 s và so sánh với 15 km (làm tròn đến hàng đơn vị).\n\nDùng công thức khoảng cách trong không gian:\n$d(B,E)=\\sqrt{(x_B-x_E)^2+(y_B-y_E)^2+(z_B-z_E)^2}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính hiệu tọa độ: $B-E=\\left(-8-\\tfrac{3}{20};\\;6-\\tfrac{1}{5};\\;10-0\\right)=(-8{.}15;\\;5{.}8;\\;10).$\n\nBình phương khoảng cách: $(-8{.}15)^2+(5{.}8)^2+10^2=66{.}4225+33{.}64+100=200{.}0625.$\n\nKhoảng cách: $d=\\sqrt{200{.}0625}\\approx14{.}144\\ \\text{(km)}.$ Khi làm tròn đến hàng đơn vị được 14 km, không phải 15 km.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Vận tốc trung bình của xe tăng trong 20 giây đầu tiên là 12,5 m/s.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nXe tăng đi từ $O$ đến $E\\left(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0\\right)$ trong 20 s.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính vận tốc trung bình của xe tăng trong 20 s đầu tiên và kiểm tra xem có bằng $12{.}5$ m/s không.\n\nDùng công thức vận tốc trung bình: $v_{tb}=\\dfrac{\\text{quãng đường}}{\\text{thời gian}}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nQuãng đường xe tăng đi được là độ dài vectơ $\\overrightarrow{OE}=E=(\\tfrac{3}{20};\\tfrac{1}{5};0).$\n\nTính độ dài:\n$\\|\\overrightarrow{OE}\\|=\\sqrt{\\left(\\dfrac{3}{20}\\right)^2+\\left(\\dfrac{1}{5}\\right)^2}=\\sqrt{\\dfrac{9}{400}+\\dfrac{1}{25}}=\\sqrt{\\dfrac{9}{400}+\\dfrac{16}{400}}=\\sqrt{\\dfrac{25}{400}}=\\dfrac{1}{4}\\ \\text{(km)}.$\n\nQuãng đường $=\\tfrac{1}{4}$ km = 250 m. Thời gian = 20 s.\n\nVận tốc trung bình: $v_{tb}=\\dfrac{250\\ \\text{m}}{20\\ \\text{s}}=12{.}5\\ \\text{m/s}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Một lúc sau, radar phát hiện máy bay vẫn giữ nguyên hướng bay ban đầu và cách $A$ một khoảng 27 km, tốc độ máy bay lúc đó 1800 km/h, đồng thời xe tăng đang di chuyển theo hướng ban đầu và cách $O$ một kilomet với tốc độ 60 km/h. Tốc độ thay đổi khoảng cách giữa máy bay và xe tăng lúc này là 1689 km/h (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTại một lúc sau, máy bay cách điểm $A$ một khoảng 27 km theo hướng ban đầu $\\vec v=(-4;3;0)$ và có tốc độ 1800 km/h.\n\nXe tăng cách $O$ một khoảng 1 km theo hướng ban đầu $\\vec u=(3;4;0)$ và có tốc độ 60 km/h.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tính tốc độ thay đổi khoảng cách giữa hai vật lúc đó (tức đạo hàm thời gian của khoảng cách) và kiểm tra xem có bằng 1689 km/h (làm tròn hàng đơn vị) không.\n\nDùng công thức đạo hàm khoảng cách: nếu $\\vec r(t)=\\vec r_{p}(t)-\\vec r_{t}(t)$ thì $\\dfrac{d}{dt}\\|\\vec r\\|=\\dfrac{\\vec r\\cdot\\vec r\\,'}{\\|\\vec r\\|}.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChuẩn hóa hướng: $\\|\\vec v\\|=\\sqrt{(-4)^2+3^2}=5,\\quad \\|\\vec u\\|=\\sqrt{3^2+4^2}=5.$\n\nVị trí máy bay (tính từ gốc tọa độ):\n$P=A+27\\cdot\\dfrac{\\vec v}{\\|\\vec v\\|}=\\left(0,0,10\\right)+27\\cdot\\left(-\\dfrac{4}{5},\\dfrac{3}{5},0\\right)=\\left(-\\dfrac{108}{5};\\;\\dfrac{81}{5};\\;10\\right)=(-21{.}6;\\;16{.}2;\\;10).$\n\nVị trí xe tăng:\n$T=O+1\\cdot\\dfrac{\\vec u}{\\|\\vec u\\|}=\\left(\\dfrac{3}{5};\\;\\dfrac{4}{5};\\;0\\right)=(0{.}6;\\;0{.}8;\\;0).$\n\nVận tốc của máy bay: $\\vec v_p=1800\\cdot\\dfrac{\\vec v}{5}=1800\\cdot\\left(-\\dfrac{4}{5},\\dfrac{3}{5},0\\right)=(-1440;\\;1080;\\;0)\\ \\text{(km/h)}.$ \n\nVận tốc của xe tăng: $\\vec v_t=60\\cdot\\dfrac{\\vec u}{5}=60\\cdot\\left(\\dfrac{3}{5},\\dfrac{4}{5},0\\right)=(36;\\;48;\\;0)\\ \\text{(km/h)}.$\n\nVector khoảng cách: $\\vec r=P-T=(-21{.}6-0{.}6;\\;16{.}2-0{.}8;\\;10-0)=(-22{.}2;\\;15{.}4;\\;10).$\n\nVector vận tốc tương đối: $\\vec r\\,'=\\vec v_p-\\vec v_t=(-1440-36;\\;1080-48;\\;0)=(-1476;\\;1032;\\;0).$\n\nTích vô hướng: $\\vec r\\cdot\\vec r\\,' =(-22{.}2)(-1476)+15{.}4\\cdot1032+10\\cdot0=48660.0.$\n\nĐộ lớn $\\|\\vec r\\|=\\sqrt{(-22{.}2)^2+(15{.}4)^2+10^2}=\\sqrt{830}\\approx28{.}808\\ \\text{(km)}.$\n\nTốc độ thay đổi khoảng cách:\n$\\dfrac{d}{dt}D=\\dfrac{\\vec r\\cdot\\vec r\\,'}{\\|\\vec r\\|}\\approx\\dfrac{48660}{28{.}808}\\approx1689{.}1\\ \\text{km/h}.$ Làm tròn đến hàng đơn vị là 1689 km/h.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["chuyển-động","toạ-độ","khoảng-cách","vận-tốc","bài-toán-thực-tế"]},{"id":15,"text":"Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC = 3,\\ BA = 2,\\ SA$ vuông góc mặt phẳng $(ABC)$ và $SA = 2$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd7","statements":[{"label":"A","text":"Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng 6.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$.\n\nTam giác $ABC$ vuông tại $B$, $BC=3$, $BA=2$.\n\n$SA\\perp(ABC)$ và $SA=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Thể tích khối chóp $S.ABC$ có bằng $6$ hay không?\n\nCần áp dụng công thức diện tích tam giác vuông và công thức thể tích khối chóp.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDiện tích tam giác vuông $ABC$ (đáy) là\n$S_{ABC}=\\frac{1}{2}\\cdot BA\\cdot BC.$ \nThay số: $S_{ABC}=\\frac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 3=3.$\n\nThể tích khối chóp với đáy là tam giác $ABC$ và chiều cao bằng khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$ (ở đây là $SA$):\n$V=\\frac{1}{3}S_{ABC}\\cdot h=\\frac{1}{3}\\cdot 3\\cdot SA.$ \nVì $SA=2$ nên\n$V=\\frac{1}{3}\\cdot 3\\cdot 2=2.$\n\nSo sánh: $2\\neq 6.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng 5.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$ với $ABC$ vuông tại $B$, $BC=3$, $BA=2$.\n\n$SA\\perp(ABC)$ và $SA=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ có bằng $5$ không?\n\nCần biết cách đặt hệ trục và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐặt hệ trục trong mặt phẳng $(ABC)$: chọn $B(0,0,0),\\ A(2,0,0),\\ C(0,3,0)$ (vì $BA=2$ theo trục Ox, $BC=3$ theo trục Oy). Vì $SA\\perp(ABC)$ và $SA=2$, điểm $S$ là điểm nằm trên đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với mặt phẳng, nên $S(2,0,2)$.\n\nMặt phẳng $(SAB)$ đi qua $S(2,0,2),\\ A(2,0,0),\\ B(0,0,0)$. Các điểm này đều có tung độ $y=0$ nên mặt phẳng là $y=0$.\n\nKhoảng cách từ $C(0,3,0)$ đến mặt phẳng $y=0$ là trị tuyệt đối tung độ của $C$: $d=|3|=3.$\n\nSo sánh: $3\\neq 5.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Số đo góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng $45^\\circ$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BA=2,\\ BC=3$.\n\n$SA\\perp(ABC)$, $SA=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Số đo góc nhị diện $[S,BC,A]$ có bằng $45^\\circ$ không?\n\nCần xác định hai mặt phẳng tạo thành góc nhị diện và tính góc giữa chúng bằng cách dùng vectơ pháp tuyến (kiến thức lớp 11/12 trong chương trình THPT).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChọn hệ tọa độ như trước: $B(0,0,0),\\ A(2,0,0),\\ C(0,3,0),\\ S(2,0,2).$\n\nMặt phẳng $(ABC)$ có vectơ pháp tuyến thuận lợi là\n$\\vec{n_{ABC}}=(0,0,1)$ (vì mặt phẳng là $z=0$).\n\nMặt phẳng $(SBC)$ lấy hai vectơ trong mặt phẳng: $\\vec{SB}=B-S=(-2,0,-2),\\ \\vec{SC}=C-S=(-2,3,-2).$\nVectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là\n$\\vec{n_{SBC}}=\\vec{SB}\\times\\vec{SC}=(6,0,-6)\\sim(1,0,-1).$\n\nGóc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Ta có\n$\\cos\\theta=\\frac{|\\vec{n_{ABC}}\\cdot\\vec{n_{SBC}}|}{\\|\\vec{n_{ABC}}\\|\\,\\|\\vec{n_{SBC}}\\|}=\frac{|(0,0,1)\\cdot(6,0,-6)|}{1\\cdot\\sqrt{6^2+(-6)^2}}=\\frac{6}{6\\sqrt{2}}=\\frac{1}{\\sqrt{2}}.$ \nDo đó $\\theta=45^\\circ.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"$SB \\cdot AC = 4.$","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp $S.ABC$ với $BA=2,\\ BC=3$, tam giác vuông tại $B$.\n\n$SA\\perp(ABC)$ và $SA=2$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Giá trị của tích vô hướng $\\vec{SB}\\cdot\\vec{AC}$ có bằng $4$ không?\n\nCần viết các vectơ theo hệ trục đã chọn và tính tích vô hướng.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDùng hệ tọa độ: $B(0,0,0),\\ A(2,0,0),\\ C(0,3,0),\\ S(2,0,2).$\n\nTính các vectơ:\n$\\vec{SB}=\\vec{B}-\\vec{S}=(0,0,0)-(2,0,2)=(-2,0,-2),$\n$\\vec{AC}=\\vec{C}-\\vec{A}=(0,3,0)-(2,0,0)=(-2,3,0).$\n\nTích vô hướng:\n$\\vec{SB}\\cdot\\vec{AC}=(-2)(-2)+0\\cdot 3+(-2)\\cdot 0=4+0+0=4.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"bài tập cuối chương vii.","bloomLevel":"apply","tags":["hình-chóp","vuông-góc","thể-tích","khoảng-cách","góc-nhị-diện","tích-vô-hướng"]},{"id":16,"text":"Khảo sát chiều cao của 20 học sinh nam lớp 12A của một trường THPT X, người ta được kết quả thống kê trong bảng sau","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd7","statements":[{"label":"A","text":"Gọi $x_1; x_2; \\ldots; x_{20}$ là mẫu số liệu gốc gồm chiều cao của 20 học sinh trên được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, $x_3 \\in [165;170)$ và $x_9 \\in [170;175).$","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nBảng ghép nhóm (chiều cao theo từng khoảng $5,\\text{cm}$):\n$[160;165):$ 3 học sinh\n\n$[165;170):$ 5 học sinh\n\n$[170;175):$ 7 học sinh\n\n$[175;180):$ 4 học sinh\n\n$[180;185):$ 1 học sinh\n\nTổng số học sinh: $n=20$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu khẳng định: Gọi $x_1,x_2,\\ldots,x_{20}$ là dãy số liệu gốc đã sắp xếp không giảm; khi đó kiểm tra xem\n$x_3\\in[165;170)$ và $x_9\\in[170;175).$\n\nCần áp dụng kiến thức về vị trí các phần tử trong dãy khi biết tần số từng lớp (các vị trí theo thứ tự cộng dồn).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXác định khoảng vị trí theo tần số cộng dồn:\nKhoảng $[160;165):$ có 3 học sinh → chiếm các vị trí thứ $1$ đến thứ $3$.\n\nKhoảng $[165;170):$ có 5 học sinh → chiếm các vị trí thứ $4$ đến thứ $8$.\n\nKhoảng $[170;175):$ có 7 học sinh → chiếm các vị trí thứ $9$ đến thứ $15$.\n\nKiểm tra từng mệnh đề:\nVới $x_3$: vì các vị trí $1$–$3$ thuộc lớp $[160;165)$, nên $x_3\\in[160;165)$, không thể là $[165;170)$.\n\nVới $x_9$: các vị trí $9$–$15$ thuộc lớp $[170;175)$, nên $x_9\\in[170;175)$ là đúng.\n\nVì câu khẳng định yêu cầu cả hai đều đúng nhưng chỉ có phần về $x_9$ đúng còn phần về $x_3$ sai, nên toàn bộ mệnh đề là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng 175.","correct":true,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nBảng ghép nhóm (chiều cao theo từng khoảng $5,\\text{cm}$):\n$[160;165):\\ 3$\n\n$[165;170):\\ 5$\n\n$[170;175):\\ 7$\n\n$[175;180):\\ 4$\n\n$[180;185):\\ 1$\n\nTổng số học sinh: $n=20$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra xem tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm có bằng $175$ hay không.\n\nCần dùng kiến thức: vị trí tứ phân vị thứ ba là $0{,}75n$-th phần tử và công thức nội suy cho dữ liệu ghép nhóm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTính vị trí cần tìm:\n$0{,}75n=0{,}75\\times20=15$ (tức phần tử thứ $15$).\n\nXác định lớp chứa phần tử thứ $15$ bằng tần số cộng dồn:\nCộng dồn sau hai lớp đầu: $3+5=8$ (đến vị trí $8$).\n\nSau lớp $[170;175):$ $3+5+7=15$ → phần tử thứ $15$ ở cuối lớp $[170;175)$.\n\nDùng công thức nội suy cho tứ phân vị trong dữ liệu ghép nhóm:\nNếu lớp chứa $Q_3$ có biên dưới $L$, tần số lớp $f$, tần số cộng dồn trước lớp là $N_{before}$ và bề rộng lớp là $h$, thì\n$Q_3=L+\\dfrac{0{,}75n-N_{before}}{f}\\cdot h.$\n\nÁp dụng số liệu:\nLớp chứa $Q_3$ là $[170;175)$ ⇒ $L=170,\\ f=7,\\ N_{before}=8,\\ h=5.$\n\nTính:\n$Q_3=170+\\dfrac{15-8}{7}\\times5=170+\\dfrac{7}{7}\\times5=170+5=175.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"C","text":"Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng 8,5.","correct":false,"explanation":"📄 Thông tin đề bài cho:\nBảng ghép nhóm (chiều cao theo từng khoảng $5,\\text{cm}$):\n$[160;165):\\ 3$\n\n$[165;170):\\ 5$\n\n$[170;175):\\ 7$\n\n$[175;180):\\ 4$\n\n$[180;185):\\ 1$\n\nTổng: $n=20.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nKiểm tra xem khoảng tứ phân vị $\\text{IQR}=Q_3-Q_1$ của mẫu ghép nhóm có bằng $8{,}5$ hay không.\n\nCần tính $Q_1$ và $Q_3$ từ dữ liệu ghép nhóm rồi lấy hiệu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVị trí $Q_1$:\n$0{,}25n=0{,}25\\times20=5$ ⇒ phần tử thứ $5$.\n\nXác định lớp chứa phần tử thứ $5$:\nLớp $[160;165):$ vị trí $1$–$3$.\n\nLớp $[165;170):$ vị trí $4$–$8$ ⇒ phần tử thứ $5$ thuộc lớp $[165;170)$.\n\nNội suy để tìm $Q_1$: lớp $[165;170)$ có $L=165,\\ f=5,\\ N_{before}=3,\\ h=5.$\nCông thức:\n$Q_1=L+\\dfrac{0{,}25n-N_{before}}{f}\\cdot h.$\nTính:\n$Q_1=165+\\dfrac{5-3}{5}\\times5=165+\\dfrac{2}{5}\\times5=165+2=167.$\n\nTrước đó đã tính được $Q_3=175.$\n\nDo đó khoảng tứ phân vị:\n$\\text{IQR}=Q_3-Q_1=175-167=8.$\n\nSo sánh với $8{,}5$ ⇒ không bằng.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm khảo sát nói trên, xác suất chọn được học sinh có chiều cao từ 175 cm trở lên bằng 0,25.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nBảng ghép nhóm (chiều cao theo từng khoảng 5 cm):\n[160;165): 3\n\n[165;170): 5\n\n[170;175): 7\n\n[175;180): 4\n\n[180;185): 1\n\nTổng số học sinh: $n=20$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác suất chọn ngẫu nhiên 1 học sinh có chiều cao từ 175 cm trở lên (tức $\\ge 175$) là bao nhiêu?\n\nCần đếm số học sinh nằm trong các lớp có giá trị $\\ge175$ rồi chia cho tổng số học sinh.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCác lớp có chiều cao $\\ge175$ là [175;180) và [180;185).\n\nSố học sinh trong các lớp này: $4 + 1 = 5.$\n\nXác suất chọn 1 học sinh có chiều cao $\\ge175$ là\n$\\dfrac{5}{20} = 0{.}25.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1ukJ-etelYQkw9nUGg_EqPIYP2yZmZ3bX_2026-02-03144352.png"],"chapter":"các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm","topic":"bài tập cuối chương iii","bloomLevel":"apply","tags":["tứ-phân-vị","mẫu-số-liệu-ghép-nhóm","khoảng-tứ-phân-vị","xác-suất","thống-kê"]},{"id":17,"text":"Cụ Ông bán vé số dạo còn 5 vé số khác nhau. Một người có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"32","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 5 vé số khác nhau.\n\nTính cả trường hợp không mua vé nào (tức là có thể chọn 0 vé).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu: Tính số cách một người có thể chọn mua một số vé (có thể mua 0 vé đến 5 vé) từ 5 vé khác nhau.\n\nCần vận dụng khái niệm: với mỗi vé, ta có hai lựa chọn (mua hoặc không mua) → nguyên lý nhân / số tập con của một tập gồm n phần tử.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới mỗi vé (tổng cộng 5 vé), ta có 2 khả năng: mua hoặc không mua. \n\nTheo nguyên lý nhân, tổng số cách là: $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2 \\times 2 = 2^5.$\n\nTa cũng có thể viết dưới dạng tổ hợp: số các lựa chọn là tổng số tập con của mọi kích thước:\n$\\sum_{k=0}^{5} \\binom{5}{k} = 2^5.$\n\nTính: $2^5 = 32.$\n\n✅ Đáp án: 32","chapter":"đại số tổ hợp","topic":"bài tập cuối chương viii","bloomLevel":"apply","tags":["tập-con","bài-toán-đếm","tổ-hợp","quy-tắc-nhân"]},{"id":18,"text":"Một nhà phân phối có thể thuê tối đa 3 chiếc xe tải loại A và 8 chiếc xe tải loại B để vận chuyển 100 chiếc máy giặt từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ. Mỗi xe loại A chở được tối đa 20 máy giặt với giá cước 3 triệu đồng mỗi chuyến, mỗi xe loại B chở được tối đa 10 máy giặt với giá cước 2 triệu đồng mỗi chuyến. Nếu mỗi xe chỉ chở nhiều nhất một chuyến, số tiền cước tối thiểu (triệu đồng) mà nhà phân phối phải trả là bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nMột nhà phân phối có thể thuê tối đa 3 chiếc xe tải loại A.\n\nCó thể thuê tối đa 8 chiếc xe tải loại B.\n\nMỗi xe loại A chở được tối đa 20 máy giặt, giá cước mỗi chuyến là 3 triệu đồng.\n\nMỗi xe loại B chở được tối đa 10 máy giặt, giá cước mỗi chuyến là 2 triệu đồng.\n\nMỗi xe chỉ chở tối đa một chuyến.\n\nCần vận chuyển 100 chiếc máy giặt.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tìm số tiền cước tối thiểu (triệu đồng) để vận chuyển đủ 100 máy giặt, thỏa mãn giới hạn số xe.\n\nCần áp dụng kiến thức về bất phương trình tuyến tính, ràng buộc số nguyên (số xe là số nguyên không âm) và tối ưu hóa (tìm giá trị nhỏ nhất) của hàm chi phí.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi số xe loại A thuê là $x$, số xe loại B thuê là $y$. Ta có ràng buộc:\nSố xe theo giới hạn: $0\\le x\\le 3,\\quad 0\\le y\\le 8$ và $x,y\\in\\mathbb{Z}$.\n\nSức chở phải đủ 100 máy giặt: $20x+10y\\ge 100$.\n\nViết hàm chi phí (triệu đồng): $C=3x+2y$.\n\nĐơn giản hóa ràng buộc sức chở: chia cho 10:\n$2x+y\\ge 10\\quad\\Rightarrow\\quad y\\ge 10-2x.$\n\nKiểm tra các giá trị nguyên khả dĩ của $x$ trong khoảng $0,...,3$:\nNếu $x=0$ thì $y\\ge 10$ nhưng tối đa $y=8$ nên không khả thi.\n\nNếu $x=1$ thì $y\\ge 8$ ⇒ chọn $y=8$ cho chi phí nhỏ nhất khi $x=1$. Chi phí: $C=3(1)+2(8)=3+16=19.$\n\nNếu $x=2$ thì $y\\ge 6$ ⇒ chọn $y=6$. Chi phí: $C=3(2)+2(6)=6+12=18.$\n\nNếu $x=3$ thì $y\\ge 4$ ⇒ chọn $y=4$. Chi phí: $C=3(3)+2(4)=9+8=17.$\n\nSàng lọc các phương án khả dĩ, chi phí nhỏ nhất là $17$ (triệu đồng) đạt được khi thuê 3 xe loại A và 4 xe loại B.\n\n✅ Đáp án: 17 triệu đồng","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1O9MUu7JNDciIlAobHGApjqWFvRcQOlJm_2026-02-03144350.png"],"chapter":"bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["bài-toán-tối-ưu","vận-tải","quy-hoạch-tuyến-tính","hệ-bất-phương-trình"]},{"id":19,"text":"Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-4;-1;2),\\ B(3;5;-6)$ và $C(a;b;c)$. Biết trung điểm cạnh $AC$ thuộc trục tung, trung điểm cạnh $BC$ thuộc mặt phẳng $(Ozx)$. Tính $T=2a+b-c.$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"5","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐiểm $A(-4;-1;2)$.\n\nĐiểm $B(3;5;-6)$.\n\nĐiểm $C(a;b;c)$ chưa biết.\n\nTrung điểm của $AC$ thuộc trục tung (trục $Oy$): tức là có hoành độ $x=0$ và tung độ $z=0$ cho điểm giữa.\n\nTrung điểm của $BC$ thuộc mặt phẳng $(Ozx)$: tức là tung độ $y=0$ cho điểm giữa.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tính giá trị $\\;T=2a+b-c.$\n\nCần áp dụng: công thức trung điểm trong không gian và phương trình của trục/mặt phẳng (trục $Oy$: $x=0,z=0$; mặt phẳng $(Ozx)$: $y=0$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTrung điểm của $AC$ là $M_{AC}\\left(\\frac{-4+a}{2},\\ \\frac{-1+b}{2},\\ \\frac{2+c}{2}\\right).$\nVì $M_{AC}$ thuộc trục $Oy$ nên\n$\\frac{-4+a}{2}=0\\quad\\Rightarrow\\quad a=4,$\n$\\frac{2+c}{2}=0\\quad\\Rightarrow\\quad c=-2.$\n\nTrung điểm của $BC$ là $M_{BC}\\left(\\frac{3+a}{2},\\ \\frac{5+b}{2},\\ \\frac{-6+c}{2}\\right).$\nVì $M_{BC}$ thuộc mặt phẳng $(Ozx)$ tức $y=0$, nên $\\frac{5+b}{2}=0\\quad\\Rightarrow\\quad b=-5.$\n\nVậy $C(4;\\,-5;\\,-2)$. Tính\n$T=2a+b-c=2\\cdot4+(-5)-(-2)=8-5+2=5.$\n\n✅ Đáp án: 5","chapter":"phương pháp tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương v","bloomLevel":"apply","tags":["tọa-độ-trung-điểm","mặt-phẳng-oxyz","phương-trình","tìm-tọa-độ"]},{"id":20,"text":"Bà Bích xịt một “chữ Tâm” được sơn son thếp vàng trong một hình chữ nhật $ABCD$ kích thước $20\\text{ cm} \\times 40\\text{ cm}.$ Bà treo bức tranh này trên tường trong phòng khách của Bà. Để tăng điểm nhấn cho bức tranh, Bà trang trí một khung hình cách điệu hình chữ nhật $MNPQ$ sao cho các điểm $A,B,C,D$ lần lượt thuộc các cạnh $QM, MN, NP, PQ$ (xem hình vẽ). Lúc này, Bà cần tính toán phần diện tích chiếm chỗ của hình chữ nhật $MNPQ$ trên tường nhà sao cho cân đối nhất. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $MNPQ$ là bao nhiêu centimet vuông?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"1800","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chữ nhật (ABCD) có kích thước:\n$AB = 20\\text{ cm},\\ AD = 40\\text{ cm}$\n\nKhung tranh là hình chữ nhật (MNPQ).\n\nCác điểm (A,B,C,D) lần lượt nằm trên các cạnh (QM, MN, NP, PQ).\n\nHình chữ nhật (ABCD) nằm bên trong hình chữ nhật (MNPQ) (theo hình vẽ).\n\nCần tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật (MNPQ).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật (MNPQ).\n\nĐể làm bài này, học sinh cần vận dụng:\nCông thức diện tích hình chữ nhật.\n\nCông thức diện tích tam giác vuông.\n\nKiến thức về tam giác đồng dạng hoặc bất đẳng thức lượng giác.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nCách tiếp cận 1 – Hình học (theo gợi ý hình vẽ):\nBước 1. Nhận xét các tam giác (ABM, BCN, CDP, DAQ) đều là tam giác vuông và đồng dạng.\n\nBước 2. Do tỉ số đồng dạng:\n$\\dfrac{AD}{AB}=\\dfrac{40}{20}=2$\nsuy ra:\n$S_{\\triangle ADQ}=4S_{\\triangle ABM}$\n\nBước 3. Diện tích hình chữ nhật (MNPQ) được tính bởi:\n$S_{MNPQ}=S_{ABCD}+2(S_{\\triangle ABM}+S_{\\triangle ADQ})$\n\nBước 4. Thay quan hệ diện tích vào:\n$S_{MNPQ}=S_{ABCD}+10S_{\\triangle ABM}$\n\nBước 5. Với tam giác (ABM):\n$S_{\\triangle ABM}=\\dfrac12\\cdot AB\\cdot d(M,AB)$\nDiện tích lớn nhất khi tam giác (ABM) vuông cân, khi đó:\n$S_{\\triangle ABM,\\max}=\\dfrac14 AB^2$\n\nBước 6. Tính diện tích lớn nhất:\n$S_{MNPQ,\\max}=10\\cdot\\dfrac14\\cdot20^2+20\\cdot40$\n\nCách tiếp cận 2 – Đại số (đặt ẩn góc):\nBước 1. Đặt:\n$x=\\widehat{DAQ}$\n\nBước 2. Biểu diễn các đoạn thẳng:\n$AQ=40\\cos x,\\ AM=20\\sin x,\\ MB=20\\cos x,\\ BN=40\\sin x$\n\nBước 3. Suy ra:\n$MQ=20\\sin x+40\\cos x$\n$MN=20\\cos x+40\\sin x$\n\nBước 4. Diện tích hình chữ nhật:\n$S_{MNPQ}=MQ\\cdot MN$\n$S_{MNPQ}=(20\\sin x+40\\cos x)(20\\cos x+40\\sin x)$\n\nBước 5. Rút gọn:\n$S_{MNPQ}=800+1000\\sin2x$\n\nBước 6. Do:\n$\\sin2x\\le1$\nnên:\n$S_{MNPQ}\\le1800$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{1800\\ \\text{cm}^2}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1KEsO6cwFbeKwebEvKrjsBewQAzMVt58P_2026-02-03144350.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1utqO7QKUxm46cuNnRkhqjBiq0VNJryXT_2026-02-03144350.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","bloomLevel":"analyze","tags":["hình-chữ-nhật","diện-tích-lớn-nhất","bài-toán-tối-ưu","hình-học-phẳng"]},{"id":21,"text":"Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng $OAB.O'A'B'$, trong đó $OA=OB=2\\text{ dm},\\ \\widehat{AOB}=120^\\circ,\\ OO'=4\\text{ dm}$. Ông mang thanh thạch anh này đến tiệm chuyên gia công và sản xuất đồ lưu niệm yêu cầu chủ tiệm phân chia thanh đá thành ba phần bởi hai mặt phẳng $(CAB)$ và $(DAB)$ sao cho tam giác $CAB$ vuông, tam giác $DAB$ đều. Sau đó, làm một quả cầu pha lê ngoại tiếp khối thạch anh $ABCD$ (4 điểm $A,B,C,D$ thuộc mặt cầu, xem hình minh họa). Chủ tiệm định giá tiền hoàn thành món hàng bằng bình phương thể tích khối thạch anh $ABCD\\ (\\text{dm}^3)$ cộng với bình phương bán kính mặt cầu (dm) ngoại tiếp khối đó rồi nhân với 60 nghìn đồng $((V_{ABCD}^2 + R^2)\\cdot 60,000)$. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng cho món đồ lưu niệm của mình?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"1030","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nThanh thạch anh có dạng hình lăng trụ đứng (OAB.O'A'B').\n\n$OA = OB = 2\\ \\text{(dm)}$\n\n$\\widehat{AOB} = 120^\\circ$\n\n$OO' = 4\\ \\text{(dm)}$\n\nMặt phẳng (CAB) sao cho tam giác (CAB) vuông.\n\nMặt phẳng (DAB) sao cho tam giác (DAB) đều.\n\nTạo tứ diện (ABCD) và dựng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.\n\nGiá tiền được tính theo công thức:\n$\\left(V_{ABCD}^2 + R^2\\right)\\cdot 60,000$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nBài toán yêu cầu tính số tiền (đồng) ông An phải trả để hoàn thành món đồ lưu niệm.\n\nĐể giải bài này, học sinh cần vận dụng:\nCông thức độ dài cạnh trong tam giác.\n\nCông thức diện tích tam giác.\n\nCông thức thể tích tứ diện:\n$V=\\dfrac13\\cdot S_{\\text{đáy}}\\cdot h$\n\nKiến thức về mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Tính độ dài cạnh (AB) trong tam giác (OAB):\n$AB=\\sqrt{OA^2+OB^2-2\\cdot OA\\cdot OB\\cos120^\\circ}=2\\sqrt3$\n\nBước 2. Tính các cạnh trong hai tam giác đặc biệt:\nVì tam giác (CAB) vuông tại (C):\n$CA=CB=\\dfrac{AB}{\\sqrt2}=\\sqrt6$\n\nVì tam giác (DAB) đều:\n$DA=DB=AB=2\\sqrt3$\n\nBước 3. Tính diện tích các tam giác:\n$S_{\\triangle OAB}=\\dfrac12\\cdot OA\\cdot OB\\cdot\\sin120^\\circ=\\sqrt3$\n$S_{\\triangle CAB}=\\dfrac12\\cdot CA\\cdot CB=3$\n$S_{\\triangle DAB}=\\dfrac{\\sqrt3}{4}\\cdot AB^2=3\\sqrt3$\n\nBước 4. Gọi (M) là trung điểm của (AB), suy ra $AB\\perp CCM$.\nTừ quan hệ hình chiếu và góc giữa hai mặt phẳng, ta có:\n$\\sin\\alpha=\\dfrac{\\sqrt6}{9}$\n\nBước 5. Tính chiều cao CH của tứ diện:\n$CH=CM\\cdot\\sin\\alpha=\\sqrt3\\cdot\\dfrac{\\sqrt6}{9}$\n\nBước 6. Tính thể tích tứ diện (ABCD):\n$V_{ABCD}=\\dfrac13\\cdot S_{\\triangle DAB}\\cdot CH=\\dfrac{\\sqrt6}{3}$\n$V_{ABCD}^2=\\dfrac23$\n\nBước 7. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:\n$R^2=\\dfrac{33}{2}$\n\nBước 8. Tính số tiền phải trả:\n$\\left(V_{ABCD}^2+R^2\\right)\\cdot60,000=\\left(\\dfrac23+\\dfrac{33}{2}\\right)\\cdot60,000$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{1,030,000\\ \\text{đồng}}$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1MG62VfOuXHH2MCMN2EPcnejdoLFw7xSj_2026-02-03144352.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-nguyen-khuyen-le-thanh-tong-tinh-tp-hcm-2026-ma-de-09-co-dap-an/1Yv0boI1fOnjjWD5mWNKNy7r6wvU5M4oz_2026-02-03144352.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"bài tập cuối chương vii","bloomLevel":"analyze","tags":["hình-lăng-trụ","mặt-cầu-ngoại-tiếp","thể-tích","bài-toán-ứng-dụng","tọa-độ"]},{"id":22,"text":"Một giờ hoạt động ngoài trời của lớp 1/1 trường tiểu học X, Cô giáo cho 35 học sinh lớp mình nắm tay nhau xếp thành một vòng tròn để chơi trò chơi “Mèo bắt Chuột”. Sau khi ổn định, Cô gọi tên ngẫu nhiên 6 học sinh trong lớp ra giữa vòng (3 em làm “Mèo”, 3 em làm “Chuột”). Xác suất 6 em được gọi tên không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn bằng $a$. Tính $11594a.$","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"698209adc7f4449be1d5cbd8","correctAnswer":"4095","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 35 học sinh đứng thành một vòng tròn, mỗi em đứng cạnh hai em khác.\n\nCô giáo chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong 35 học sinh đó.\n\nYêu cầu: 6 học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn.\n\nGọi xác suất cần tìm là (a), yêu cầu tính giá trị $11594\\cdot a$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 6 học sinh trong 35 học sinh đứng thành vòng tròn, không có hai học sinh nào đứng cạnh nhau.\n\nBài toán sử dụng kiến thức về:\nXác suất cổ điển:\n$P(A)=\\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}$\n\nTổ hợp và kỹ thuật chọn không kề nhau trên vòng tròn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1. Xác định số phần tử của không gian mẫu:\nSố cách chọn 6 học sinh bất kỳ từ 35 học sinh là\n$n(\\Omega)=C_{35}^6=1623160$\n\nBước 2. Gọi (A) là biến cố: “6 học sinh được chọn không có hai em nào đứng cạnh nhau trong vòng tròn”.\n\nBước 3. Tạm thời phá vòng tròn thành một hàng ngang gồm 35 học sinh.\nKhi đó, để không có hai em nào đứng cạnh nhau, ta coi 29 học sinh không được chọn tạo ra 30 khoảng trống, và chọn 6 khoảng trống khác nhau để đặt 6 học sinh được chọn.\nSố cách chọn là $C_{30}^6=593775$\n\nBước 4. Loại các trường hợp không thỏa mãn điều kiện vòng tròn.\nNếu trong cách chọn trên, có 2 học sinh được chọn đứng ở đầu và cuối hàng, thì khi ghép lại thành vòng tròn, hai em này sẽ đứng cạnh nhau.\nKhi đó, ta chỉ còn chọn 4 học sinh trong 28 khoảng trống còn lại, có $C_{28}^4=20475$\ncách không thỏa mãn.\n\nBước 5. Số trường hợp thuận lợi là\n$n(A)=593775-20475=573300$\n\nBước 6. Tính xác suất cần tìm:\n$a=P(A)=\\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}=\\dfrac{573300}{1623160}=\\dfrac{4095}{11594}$\n\n✅ Đáp án: $\\boxed{11594\\cdot a=4095}$","chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii","bloomLevel":"analyze","tags":["xác-suất","vòng-tròn","chọn-không-liền-kề","bài-toán-đếm","tổ-hợp"]}],"mindmap":"# Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Nguyễn Khuyến & Lê Thánh Tông Sở GD&ĐT TP.HCM năm 2026 - Mã đề 09\n## Hàm số mũ và hàm số lôgarit\n### ⭐ Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit — Câu 1\n## Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số\n### ⭐⭐ Tính đơn điệu và cực trị của hàm số — Câu 2, Câu 4\n### ⭐⭐⭐ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số — Câu 7, Câu 8\n### ⭐⭐ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số — Câu 11\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương i — Câu 13\n## Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐ Vectơ trong không gian — Câu 3\n### ⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 5\n### ⭐ Hệ trục tọa độ trong không gian — Câu 10\n## Dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân\n### ⭐ Cấp số cộng — Câu 6\n## Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm\n### ⭐ Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị — Câu 9\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương iii — Câu 16\n## Phương pháp tọa độ trong không gian\n### ⭐⭐ Phương trình đường thẳng trong không gian — Câu 12\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương v — Câu 19\n## Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 14\n## Quan hệ vuông góc trong không gian\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương vii. — Câu 15\n### ⭐⭐⭐⭐ Thể tích — Câu 20\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương vii — Câu 21\n## Đại số tổ hợp\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương viii — Câu 17\n## Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 18\n## Các quy tắc tính xác suất\n### ⭐⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương viii — Câu 22","analysis":"## 📖 Hiểu đề\n- Đề này kiểm tra kiến thức và kỹ năng toán học THPT, tập trung vào các chủ đề cốt lõi: hàm số (mũ, logar, đạo hàm, đồ thị, tiệm cận), vectơ và tọa độ trong không gian, hình học không gian (thể tích, góc, khoảng cách), thống kê (số đặc trưng), dãy số, bất phương trình, tổ hợp và xác suất. Mục tiêu chính là đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào bài toán thực tế, tư duy logic và suy luận đa dạng.\n- Phong cách ra đề đa dạng, kết hợp giữa nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Nhiều câu có tính ứng dụng thực tế (ví dụ: radar, vận chuyển, trò chơi học sinh) và yêu cầu kết hợp nhiều kiến thức. Đề thiên về vận dụng và suy luận, ít câu chỉ dựa vào ghi nhớ máy móc.\n- Kiến thức nền xuyên suốt: Đạo hàm và ứng dụng trong khảo sát hàm số (tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, đường tiệm cận); vectơ và tọa độ trong không gian (cộng vectơ, trung điểm, phương trình đường thẳng, mặt phẳng); các khái niệm về số đặc trưng trong thống kê ghép nhóm; và các phương pháp giải trong hình học không gian (thể tích, góc, quan hệ vuông góc).\n\n## 🔍 Phân tích đề\n**1. Cấu trúc đề** — 12 câu trắc nghiệm + 4 câu Đúng-Sai (mỗi câu 4 ý a/b/c/d) + 6 câu trả lời ngắn = 22 câu.\n\n**2. Chủ đề trọng tâm** — \n- Hàm số và đồ thị (7 câu): câu 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13. \n- Vectơ và tọa độ trong không gian (6 câu): câu 3, 5, 10, 12, 14, 19. \n- Hình học không gian (tính toán thể tích, góc, khoảng cách) (3 câu): câu 15, 20, 21. \n(Các chủ đề khác: Thống kê 2 câu, Dãy số 1 câu, Bất phương trình 1 câu, Tổ hợp 1 câu, Xác suất 1 câu).\n\n**3. Độ khó** — \n- Trắc nghiệm (câu 1-12): Độ khó từ dễ đến trung bình. Câu nhận biết (1, 6, 9, 10) dễ; câu thông hiểu (2, 3, 4, 5, 8, 11, 12) trung bình; câu vận dụng (7) trung bình khó. \n- Đúng-Sai (câu 13-16): Câu 13 (hàm số) trung bình khó; câu 14 (vectơ ứng dụng) khó; câu 15 (hình học) khó; câu 16 (thống kê) trung bình. \n- Trả lời ngắn (câu 17-22): Câu 17 (tổ hợp) dễ; câu 18 (bất phương trình) trung bình; câu 19 (tọa độ) trung bình; câu 20 (hình học tối ưu) rất khó; câu 21 (hình học phức tạp) rất khó; câu 22 (xác suất) rất khó. \nPhần phân hóa rõ rệt ở các câu vận dụng cao: câu 14, 20, 21, 22 đòi hỏi tư duy sáng tạo và kết hợp nhiều kiến thức. Khái niệm cốt lõi xuất hiện nhiều: đạo hàm, vectơ, tọa độ, phương trình, bất phương trình, xác suất, tổ hợp."}

Bắt đầu thi thử