{"title":"Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Chuyên Bắc Ninh Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026 - Lần 1","examType":"PRACTICE","subject":"Math","totalQuestions":22,"totalUnits":34,"examReady":true,"duration":90,"year":2026,"hasAnswerKey":true,"groups":[{"id":"6983842060c34a23f07476d4","section":"SESSION_1","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án.","questionIds":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]},{"id":"6983842060c34a23f07476d5","section":"SESSION_2","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.","questionIds":[13,14,15,16]},{"id":"6983842060c34a23f07476d6","section":"SESSION_3","passage":"Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6","questionIds":[17,18,19,20,21,22]}],"questions":[{"id":1,"text":"Cho hàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$. Giá trị $f'(3)$ bằng","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\dfrac{4}{5}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{4}{5}$ có thể là kết quả nhầm lẫn giá trị hàm số $f(3)=\\frac{5}{4}$ thành $\\frac{v(3)}{u(3)}$ hoặc tính toán không đúng công thức đạo hàm."},{"label":"B","text":"$\\dfrac{3}{16}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì áp dụng quy tắc đạo hàm thương: $f'(x)=\\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\\frac{3}{(x+1)^2}$, suy ra $f'(3)=\\frac{3}{16}$."},{"label":"C","text":"$\\dfrac{2}{9}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{2}{9}$ thường là kết quả khi nhầm mẫu số $(x+1)^2$ thành $x^2$ (tức $\\frac{2}{3^2}$) khi thế $x=3$, thiếu cộng $1$ vào trước khi bình phương."},{"label":"D","text":"$\\dfrac{1}{6}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\frac{1}{6}$ không phải là kết quả của $\\frac{3}{(3+1)^2}$; có thể do lỗi tính toán số học như nhầm $16$ thành $18$ hoặc áp dụng sai công thức."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{2x-1}{x+1}$.\n\nYêu cầu: tính giá trị $f'(3)$ của hàm số.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của hàm số tại $x=3$, nghĩa là cần tìm $f'(x)$ sau đó thay $x=3$.\n\nKiến thức cần dùng: quy tắc đạo hàm của thương hai hàm (quy tắc thương) hoặc biến đổi hàm trước rồi lấy đạo hàm.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $u=2x-1,\\; v=x+1$, khi đó $u'=2,\\; v'=1$.\n\nÁp dụng quy tắc thương: $\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)'=\\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.\n\nÁp dụng vào hàm: \n$f'(x)=\\dfrac{2(x+1)-(2x-1)\\cdot 1}{(x+1)^2}.$\n\nTính tử số: $2(x+1)-(2x-1)=2x+2-2x+1=3.$\n\nVậy $f'(x)=\\dfrac{3}{(x+1)^2}.$\n\nThay $x=3$: $(3+1)^2=16\\Rightarrow f'(3)=\\dfrac{3}{16}.$\n\n(Kiểm tra nhanh bằng phương pháp khác: chia đa thức $\\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\\dfrac{3}{x+1}$, đạo hàm là $0+\\dfrac{3}{(x+1)^2}$, cùng kết quả.)\n\n✅ Đáp án: B. $\\dfrac{3}{16}$.","chapter":"đạo hàm","topic":"các quy tắc tính đạo hàm.","bloomLevel":"remember","tags":["tính-đạo-hàm","hàm-phân-thức","quy-tắc-tính-đạo-hàm","đạo-hàm-của-thương"]},{"id":2,"text":"Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Vecto nào dưới đây bằng $\\overrightarrow{AD}$?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{BC^{\\prime}}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{BC'}$ là vectơ chéo của mặt bên $BCC'B'$ nên có độ dài $a\\sqrt{2}$ (với $a$ là cạnh hình lập phương), khác độ dài $AD=a$ và không cùng phương với $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{DC}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{DC} = \\overrightarrow{AB}$ nhưng $\\overrightarrow{AB} \\perp \\overrightarrow{AD}$ (hai cạnh kề của hình vuông), do đó $\\overrightarrow{DC}$ không cùng hướng với $\\overrightarrow{AD}$."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{B'C'}$.","correct":true,"reason":"$\\overrightarrow{B'C'}$ song song, cùng hướng và cùng độ dài với $\\overrightarrow{BC}$, mà $\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AD}$ (tính chất hình bình hành $ABCD$), suy ra $\\overrightarrow{B'C'} = \\overrightarrow{AD}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{AB}$.","correct":false,"reason":"$\\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\\overrightarrow{AD}$ (góc $90^\\circ$ ở đỉnh $A$ của hình vuông $ABCD$) nên không cùng hướng, không bằng $\\overrightarrow{AD}$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$.\n\nHỏi: vectơ nào bằng $\\overrightarrow{AD}$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nHai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài (không cần cùng điểm đặt).\n\nTa sẽ dùng tính chất: trong hình chữ nhật (hình bình hành), hai cạnh đối song song và bằng nhau.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $ABCD$ là hình vuông nên:\n$AD \\parallel BC$ và $AD = BC \\Rightarrow \\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC}.$\n\nMặt bên $BCC'B'$ cũng là hình vuông nên:\n$BC \\parallel B'C'$ và $BC = B'C' \\Rightarrow \\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{B'C'}.$\n\nSuy ra:\n$\\overrightarrow{AD}=\\overrightarrow{BC}=\\overrightarrow{B'C'}.$\n\n✅ Đáp án: C.","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1ZrbB80tjYqXOe2nmvJjjgLbnP7RMBtYW_2026-02-04173838.png"],"chapter":"vectơ","topic":"bài tập cuối chương iv","bloomLevel":"remember","tags":["vectơ-bằng-nhau","hình-lập-phương","vectơ-trong-không-gian","nhận-dạng-vectơ"]},{"id":3,"text":"Tập xác định của hàm số $y=(x-1)^{\\dfrac{1}{6}}+\\log(4-x^2)$ là","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$[1;2)$.","correct":false,"reason":"Sai vì tại $x=1$, biểu thức $(x-1)^{\\frac{1}{6}}$ không xác định theo quy ước THPT: khi số mũ có mẫu chẵn (6) thì cơ số phải dương ($x-1>0$), nên $x=1$ bị loại."},{"label":"B","text":"$(-2;2)$.","correct":false,"reason":"Sai vì chỉ thỏa mãn điều kiện $4-x^2>0$ của logarit nhưng chứa các giá trị $x \\leq 1$ (ví dụ $x=0$) không thỏa mãn điều kiện $x>1$ của lũy thừa."},{"label":"C","text":"$(1;2]$.","correct":false,"reason":"Sai vì tại $x=2$, biểu thức $\\log(4-x^2)$ không xác định do $4-2^2=0$, trong khi logarit bắc $e$ (hay cơ số 10) chỉ xác định khi đối số dương ($4-x^2>0$)."},{"label":"D","text":"$(1;2)$.","correct":true,"reason":"Đúng vì thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện: $x-1>0$ (suy ra $x>1$) để lũy thừa xác định và $4-x^2>0$ (suy ra $-20\\quad\\text{(ta yêu cầu cơ số dương khi mẫu của mũ phân số là số chẵn)}$\n\ntừ đó được $x>1.$\n\nĐiều kiện để hàm $\\log(4-x^2)$ xác định là đối số dương:\n$4-x^2>0 \\iff -21$ và $-2 1$."},{"label":"B","text":"$[-1;1]$.","correct":false,"reason":"Sai vì tập giá trị của $\\cot x$ không bị giới hạn trong $[-1;1]$ mà là toàn bộ $\\mathbb{R}$; hàm số có thể nhận giá trị lớn hơn $1$ hoặc nhỏ hơn $-1$."},{"label":"C","text":"$\\mathbb{R}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\cot x = \\tan\\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)$ nên có cùng tập giá trị với hàm $\\tan$, là $\\mathbb{R}$; hàm $\\cot x$ liên tục trên $(0;\\pi)$ với $\\lim_{x \\to 0^+} \\cot x = +\\infty$ và $\\lim_{x \\to \\pi^-} \\cot x = -\\infty$ nên nhận mọi giá trị thực."},{"label":"D","text":"$(-\\infty;0)$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\cot x$ có thể nhận giá trị dương, ví dụ $\\cot \\frac{\\pi}{4} = 1 > 0$, nên tập giá trị không chỉ gồm số âm."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số: $y=\\cot x$.\n\nĐịnh nghĩa: $\\cot x=\\dfrac{\\cos x}{\\sin x}$ (x phải thỏa điều kiện $\\sin x\\neq 0$).\n\nNhận dạng liên quan: $\\cot x=\\tan\\Big(\\dfrac{\\pi}{2}-x\\Big)$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tìm tập giá trị (range) của hàm số $y=\\cot x$.\n\nCần biết: tính chất của hàm $\\tan x$ (tập giá trị là $\\mathbb{R}$) và mối liên hệ giữa $\\cot$ và $\\tan$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nViết lại $\\cot x$ theo $\\tan$: $\\cot x=\\tan\\Big(\\dfrac{\\pi}{2}-x\\Big).$\n\nVì hàm $\\tan u$ có tập giá trị là $\\mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định như $\\Big(-\\dfrac{\\pi}{2},\\dfrac{\\pi}{2}\\Big)$ nó liên tục và đạt mọi giá trị thực), nên hàm $\\tan$ với biến $u=\\dfrac{\\pi}{2}-x$ cũng đạt mọi giá trị thực.\n\nDo đó, theo đẳng thức trên, hàm $\\cot x$ cũng nhận mọi giá trị thực (với điều kiện $x$ không là bội của $\\pi$ do $\\sin x=0$ tại đó hàm không xác định), nghĩa là tập giá trị là toàn bộ $\\mathbb{R}$.\n\nKiểm tra một vài giá trị: $\\cot\\frac{\\pi}{4}=1,\\quad \\cot\\frac{\\pi}{2}=0,\\quad \\lim_{x\\to 0^+}\\cot x=+\\infty,\\quad \\lim_{x\\to \\pi^-}\\cot x=-\\infty.$ Những kiểm tra này phù hợp với kết luận rằng mọi số thực đều là giá trị của $\\cot x$.\n\n✅ Đáp án: $C. \\mathbb{R}$","chapter":"hàm số lượng giác và phương trình lượng giác","topic":"hàm số lượng giác","bloomLevel":"remember","tags":["tập-giá-trị-hàm-lượng-giác","hàm-cotang","nhận-dạng"]},{"id":9,"text":"Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Phát biểu nào sau đây là sai?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{DB}+\\overrightarrow{DC}=3\\overrightarrow{DG}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{DA}+\\overrightarrow{DB}+\\overrightarrow{DC} = 3\\overrightarrow{DG} + (\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}) = 3\\overrightarrow{DG}$ do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$."},{"label":"B","text":"$\\overrightarrow{GD}-\\overrightarrow{GA}=\\overrightarrow{AD}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì $\\overrightarrow{GD}-\\overrightarrow{GA} = \\overrightarrow{GD}+\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AD}$ theo quy tắc cộng vectơ."},{"label":"C","text":"$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\overrightarrow{0}$.","correct":false,"reason":"Đúng vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên tổng các vectơ từ $G$ đến ba đỉnh bằng $\\vec{0}$."},{"label":"D","text":"$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD}=\\overrightarrow{0}$.","correct":false,"reason":"Sai vì $\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} = \\vec{0}+\\overrightarrow{GD} = \\overrightarrow{GD} \\neq \\vec{0}$ (trừ khi $D$ trùng $G$)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện $ABCD$.\n\n$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.\n\nCó thêm điểm $J$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ (trong hình).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm mệnh đề sai.\n\nDùng 2 tính chất:\nTrọng tâm tam giác $ABC$: $\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\vec 0.$\n\nTrọng tâm tứ diện $ABCD$: $\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}=\\vec 0.$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nBước 1: Nhắc lại tính chất của $G$\nVì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}=\\vec 0.$\n\nBước 2: Từ đó suy ra ngay biểu thức ở đáp án D\nCộng thêm $\\overrightarrow{GD}$ vào hai vế:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} =\\vec 0+\\overrightarrow{GD}=\\overrightarrow{GD}.$\n⇒ Mệnh đề “$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD}=\\vec 0$” là sai.\n\nBước 3: Gọi $J$ là trọng tâm tứ diện nên:\n$\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}=\\vec 0.$\nMà với mọi điểm $X$ ta có: $\\overrightarrow{GX}=\\overrightarrow{GJ}+\\overrightarrow{JX}$.\nCộng 4 điểm $A,B,C,D$:\n$\\overrightarrow{GA}+\\overrightarrow{GB}+\\overrightarrow{GC}+\\overrightarrow{GD} =4\\overrightarrow{GJ}+(\\overrightarrow{JA}+\\overrightarrow{JB}+\\overrightarrow{JC}+\\overrightarrow{JD}) =4\\overrightarrow{GJ}.$\n\nDo $G$ (trọng tâm tam giác $ABC$) khác $J$ (trọng tâm tứ diện) nên $\\overrightarrow{GJ}\\ne \\vec 0$\n⇒ tổng trên cũng không thể bằng $\\vec 0$. \n\n✅ Đáp án: $D$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1b-BKcBzcPhZe1RQhzdDUK7BcO0lq7LzV_2026-02-04173831.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"vectơ trong không gian","bloomLevel":"remember","tags":["trọng-tâm-tam-giác","vectơ-tứ-diện","phép-toán-vectơ","tính-chất-vectơ"]},{"id":10,"text":"Cho lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là các hình bình hành. Các điểm $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AD,BC,CC'$ (tham khảo hình vẽ). Xét các khẳng định sau: a) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$. b) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$. c) Mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$. Trong các khẳng định trên, số khẳng định đúng là:","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$0$.","correct":false,"reason":"Phương án A sai vì có đúng 2 khẳng định đúng là b) và c), không phải 0."},{"label":"B","text":"$1$.","correct":false,"reason":"Phương án B sai vì số khẳng định đúng là 2 (khẳng định b và c), không phải 1."},{"label":"C","text":"$3$.","correct":false,"reason":"Phương án C sai vì chỉ có 2 khẳng định đúng; khẳng định a) sai do $(MNP)$ song song với $(ABC'D')$ nên cắt đường thẳng $A'D'$ tại điểm nằm ngoài đoạn $A'D'$."},{"label":"D","text":"$2$.","correct":true,"reason":"Phương án D đúng vì b) đúng (do $MN \\parallel CD$ nên giao tuyến của $(MNP)$ với $(CDD'C')$ qua $P$ song song với $CD$, suy ra cắt $DD'$ tại trung điểm) và c) đúng (do $MN \\parallel AB$, $NP \\parallel BC'$ nên $(MNP) \\parallel (ABC'D')$), còn a) sai (giao điểm với $A'D'$ nằm ngoài đoạn)."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nLăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$, hai đáy là hình bình hành.\n\n$M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AD,\\ BC,\\ CC'$.\n\nCác khẳng định:\na) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$.\n\nb) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$.\n\nc) Mặt phẳng $(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXét đúng/sai từng khẳng định a), b), c).\n\nĐếm số khẳng định đúng để chọn đáp án.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\n\na) Dễ thấy $A'D' \\parallel AD$ và $MN \\parallel AD$ nên $A'D' \\parallel (MNP)$.\n⇒ Khẳng định “mặt phẳng $(MNP)$ cắt $A'D'$” là sai.\n\nb) Gọi $Q$ là giao điểm của mặt phẳng $(MNP)$ với $DD'$ (tức $Q\\in DD'$).\nTa có $MN \\parallel CD \\Rightarrow CD \\parallel (MNQP) \\Rightarrow CD \\parallel QP$.\nMà $P$ là trung điểm của $CC'$ nên suy ra $Q$ là trung điểm của $DD'$.\n⇒ Khẳng định “$(MNP)$ cắt $DD'$ tại trung điểm của $DD'$” là đúng.\n\nc) Ta có $MP$ là đường trung bình của tam giác $\\left(BCC'\\right)$ nên $MP \\parallel BC'$.\nLại có $MN \\parallel AB$, do đó $(MNQP)\\parallel(ABC'D')$ hay khẳng định “$(MNP)$ song song với mặt phẳng $(ABC'D')$” là đúng.\n\nVậy có 2 khẳng định đúng.\n\n✅ Đáp án: $D.\\ 2$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1ZrbB80tjYqXOe2nmvJjjgLbnP7RMBtYW_2026-02-04173838.png","/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/10s2D6da0vtwLAPtYUV8iIUxPeMD119Lp_2026-02-04173834.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"hai mặt phẳng song song","bloomLevel":"apply","tags":["mặt-phẳng-song-song","lăng-trụ","giao-tuyến","hình-học-không-gian","trung-điểm","số-khẳng-định-đúng"]},{"id":11,"text":"Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn khi có tổng bằng $3$ và công bội bằng $\\dfrac{2}{3}$","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$.","correct":true,"reason":"Đúng vì từ công thức tổng $S=\\dfrac{a_1}{1-q}=3$ với $q=\\dfrac{2}{3}$ suy ra $a_1=1$, nên số hạng tổng quát là $a_n=a_1q^{n-1}=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$."},{"label":"B","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ thì $a_1=\\dfrac{2}{3}$, khi đó tổng $S=\\dfrac{2/3}{1-2/3}=2\\neq 3$."},{"label":"C","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+1}$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+1}$ thì $a_1=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^2=\\dfrac{4}{9}$, khi đó $S=\\dfrac{4/9}{1-2/3}=\\dfrac{4}{3}\\neq 3$."},{"label":"D","text":"$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+2}$.","correct":false,"reason":"Sai vì nếu $a_n=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n+2}$ thì $a_1=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^3=\\dfrac{8}{27}$, khi đó $S=\\dfrac{8/27}{1-2/3}=\\dfrac{8}{9}\\neq 3$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTổng của cấp số nhân lùi vô hạn: $S=3$. \n\nCông bội: $q=\\dfrac{2}{3}$ (vì $|q|<1$, công thức tổng vô hạn áp dụng được). \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nYêu cầu: Tìm số hạng tổng quát $a_n$ của cấp số nhân vô hạn có tổng và công bội đã cho. \n\nKiến thức cần dùng: công thức tổng của cấp số nhân vô hạn $S=\\dfrac{a_1}{1-q}$ và công thức số hạng tổng quát $a_n=a_1q^{\\,n-1}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nÁp dụng công thức tổng vô hạn: $S=\\dfrac{a_1}{1-q}.$ \n\nGiải để tìm số hạng đầu $a_1$: $a_1=S(1-q).$ \n\nThay số vào: $a_1=3\\left(1-\\dfrac{2}{3}\\right)=3\\cdot\\dfrac{1}{3}=1.$ \n\nViết số hạng tổng quát: $a_n=a_1q^{\\,n-1}=1\\cdot\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}=\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}.$ \n\nKiểm tra điều kiện: $|q|=\\dfrac{2}{3}<1$ nên công thức tổng vô hạn đã dùng là hợp lệ.\n\n✅ Đáp án: A. $\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{n-1}$","chapter":"dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân","topic":"cấp số nhân","bloomLevel":"understand","tags":["cấp-số-nhân-lùi-vô-hạn","tổng-cấp-số-nhân","số-hạng-tổng-quát"]},{"id":12,"text":"Cho hàm số đa thức bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d\\ (a\\ne0)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?","type":"multiple-choice","section":"SESSION_1","groupId":"6983842060c34a23f07476d4","options":[{"label":"A","text":"$(-2;0)$.","correct":false,"reason":"Trên $(-2;0)$, đồ thị đi xuống từ $x=-2$ đến cực tiểu $x=-1$ rồi đi lên đến $x=0$, nên hàm số không nghịch biến trên toàn bộ khoảng này."},{"label":"B","text":"$(0;+\\infty)$.","correct":false,"reason":"Khoảng $(0;+\\infty)$ chứa điểm cực đại $x=1$, do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$ và chỉ nghịch biến trên $(1;+\\infty)$, không nghịch biến trên cả $(0;+\\infty)$."},{"label":"C","text":"$(-1;1)$.","correct":false,"reason":"Trên $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ cực tiểu $(-1,-1)$ đến cực đại $(1,3)$, vậy hàm số đồng biến (tăng) chứ không phải nghịch biến (giảm)."},{"label":"D","text":"$(1;+\\infty)$.","correct":true,"reason":"Tại $x=1$ hàm số đạt cực đại và đồ thị đi xuống khi $x>1$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\\infty)$."}],"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số đa thức bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d\\ (a\\ne0).$ \n\nĐồ thị cho biết: điểm $(-1,-1)$ là điểm cực tiểu và điểm $(1,3)$ là điểm cực đại. \n\nĐồ thị còn đi qua các điểm $(-2,3)$ và $(2,-1)$ (thông tin hình ảnh).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Hàm số đã cho nghịch biến (giảm) trên khoảng nào trong các phương án? \n\nCần áp dụng kiến thức về đạo hàm của hàm đa thức bậc ba, dấu của $y'$ tại các khoảng để xác định nơi hàm tăng/giảm. \n\nQuan trọng: các điểm cực trị là nghiệm của $y'=0$; dấu của $y'$ bên trái và bên phải từng nghiệm cho biết cực đại hay cực tiểu.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì đồ thị có hai điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$ nên đạo hàm bậc hai nghiệm tại hai điểm đó. Do đó ta có thể viết (hệ số tỷ lệ khác 0):\n$y'=k(x+1)(x-1),\\qquad k\\ne0.$\nVới hàm bậc ba chuẩn, hệ số tỷ lệ là $k=3a$, nên\n$y'=3a(x+1)(x-1).$\n\nXét dấu của $y'$ trên từng khoảng tách bởi $-1$ và $1$:\nNếu $x<-1$: cả hai thừa số $(x+1)$ và $(x-1)$ đều âm, nên $(x+1)(x-1)>0$; lúc đó dấu của $y'$ bằng dấu của $3a$.\n\nNếu $-10,\\ (x-1)<0$ nên $(x+1)(x-1)<0$; khi đó dấu của $y'$ là ngược dấu của $3a$.\n\nNếu $x>1$: cả hai thừa số đều dương, nên $(x+1)(x-1)>0$; dấu của $y'$ lại bằng dấu của $3a$.\n\nTừ thông tin cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=1$ ta suy: \nỞ $x=-1$, đạo hàm đổi từ âm (bên trái) sang dương (bên phải) ⇒ trước $-1$: $y'<0$, sau $-1$: $y'>0$. \n\nNhư vậy giá trị của $3a$ phải âm (vì khi $x<-1$ ta cần $y'<0$ nhưng $(x+1)(x-1)>0$), suy ra $a<0$.\n\nKhi $a<0$, cụ thể dấu của $y'$ trên các khoảng là:\n$(-\\infty,-1):\\ y'<0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm giảm};$\n\n$(-1,1):\\ y'>0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm tăng};$\n\n$(1,+\\infty):\\ y'<0\\ \\Rightarrow\\ \\text{hàm giảm}.$\n\nVậy hàm số nghịch biến trên hai khoảng $(-\\infty,-1)$ và $(1,+\\infty)$. \nTrong các phương án cho sẵn chỉ có phương án $(1;+\\infty)$ trùng với một trong các khoảng nghịch biến, nên chọn phương án đó.\n\n✅ Đáp án: $D. (1;+\\infty)$","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/10s2D6da0vtwLAPtYUV8iIUxPeMD119Lp_2026-02-04173834.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"understand","tags":["tính-đơn-điệu","đồ-thị-hàm-số","hàm-bậc-ba","nhận-dạng-đồ-thị"]},{"id":13,"text":"Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\\mathbb{R}$ và $f'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Đồ thị hàm số $g(x)=f(x)-\\dfrac{1}{2}x^2+x+2025$ cắt đường thẳng $y=m$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $g(-1)m>\\max{g(-3),g(1)}.$\n\nĐiều kiện này không tương đương với\n$g(-1)<\\min{g(-3),g(1)}$ như phát biểu đã cho.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""},{"label":"B","text":"Đồ thị hàm số $h(x)=\\dfrac{2x+1}{f'(x)}$ có $3$ đường tiệm cận.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ là hàm bậc ba và có các nghiệm nhìn từ hình: $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành) và $x=1$ (cắt trục hoành).\n\nXét hàm số $h(x)=\\dfrac{2x+1}{f'(x)}$.\n\nPhát biểu B: “Đồ thị $y=h(x)$ có 3 đường tiệm cận.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm các đường tiệm cận của $h(x)$ gồm:\nTiệm cận đứng: tại các nghiệm của $f'(x)=0$ (nếu không triệt tiêu với tử).\n\nTiệm cận ngang/xiên: xét bậc tử và bậc mẫu (hoặc giới hạn khi $x\\to\\pm\\infty$).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ hình, suy ra:\n$f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nKhi đó:\n$h(x)=\\dfrac{2x+1}{(x+2)^2(x-1)}.$\n\nTiệm cận đứng:\n$f'(x)=0 \\iff x=-2 \\ \\text{hoặc}\\ x=1.$\n\nKiểm tra tử số:\nTại $x=-2$: $2x+1=-3\\ne 0$ ⇒ không khử được.\n\nTại $x=1$: $2x+1=3\\ne 0$ ⇒ không khử được.\n\nVậy có 2 tiệm cận đứng: $x=-2$ và $x=1$.\n\nTiệm cận ngang:\nBậc tử = 1, bậc mẫu = 3 ⇒\n$\\lim_{x\\to\\pm\\infty}h(x)=0.$\n\nVậy có 1 tiệm cận ngang: $y=0$.\n\nTổng số đường tiệm cận: $2+1=3.$\n\n✅ Đáp án: \"Đúng\""},{"label":"C","text":"Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ cho thấy $f'(x)=0$ tại $x=-2$ (nghiệm bội 2) và $x=1$ (nghiệm đơn).\n\nSuy ra có thể viết $f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nPhát biểu C: “Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\\infty)$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMuốn $f(x)$ đồng biến trên $(0;+\\infty)$ thì cần $f'(x)\\ge 0$ với mọi $x\\in(0;+\\infty)$ (và không âm “toàn bộ khoảng”).\n\nChỉ cần xét dấu của $f'(x)$ trên $(0;+\\infty)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVới $x>0$ thì $(x+2)^2>0$ luôn đúng, nên dấu của $f'(x)=(x+2)^2(x-1)$ phụ thuộc vào $x-1$.\n\nXét trên $(0;+\\infty)$:\nNếu $01$ thì $x-1>0 \\Rightarrow f'(x)>0$ ⇒ $f(x)$ đồng biến trên $(1,+\\infty)$.\n\nVì trên $(0,1)$ hàm lại nghịch biến, nên $f(x)$ không thể đồng biến trên toàn bộ $(0;+\\infty)$.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""},{"label":"D","text":"Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nĐồ thị $y=f'(x)$ là hàm bậc ba và có:\n$f'(x)=0$ tại $x=-2$ (tiếp xúc trục hoành ⇒ nghiệm bội 2),\n\n$f'(x)=0$ tại $x=1$ (cắt trục hoành ⇒ nghiệm đơn).\n\nPhát biểu D: “Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nĐiểm cực trị của $f(x)$ xuất hiện tại các điểm $x_0$ sao cho:\n$f'(x_0)=0 \\ \\text{và}\\ f'(x)\\ \\text{đổi dấu khi qua}\\ x_0.$\n\nNếu $f'(x_0)=0$ nhưng không đổi dấu thì $x_0$ không phải điểm cực trị (thường là điểm uốn có tiếp tuyến ngang).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTừ hình (và như đã suy ra ở các ý trước):\n$f'(x)=(x+2)^2(x-1).$\n\nXét dấu $f'(x)$ quanh các nghiệm:\nVì $(x+2)^2\\ge 0$ và chỉ bằng 0 tại $x=-2$ nên không làm đổi dấu.\n\nDấu của $f'(x)$ chủ yếu do $x-1$ quyết định:\nKhi $x<1$ thì $x-1<0 \\Rightarrow f'(x)<0$ (trừ tại $x=-2$ thì bằng 0).\n\nKhi $x>1$ thì $x-1>0 \\Rightarrow f'(x)>0$.\n\nXét từng điểm:\nTại $x=-2$: $f'(-2)=0$ nhưng khi đi qua $-2$ thì $f'(x)$ vẫn âm ở hai phía (vì vẫn còn $x<1$) ⇒ không đổi dấu ⇒ không có cực trị tại $x=-2$.\n\nTại $x=1$: $f'(1)=0$ và $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương ⇒ $f(x)$ có cực tiểu tại $x=1$.\n\nVậy $f(x)$ chỉ có 1 điểm cực trị, không phải 2.\n\n✅ Đáp án: \"Sai\""}],"images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1WWVVaBOrWjMDl-qcrDhXa9bmSoX2qQd6_2026-02-04173830.png"],"chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"apply","tags":["đồ-thị-đạo-hàm","khảo-sát-hàm-hợp","tiệm-cận","cực-trị","tương-giao","hàm-số-bậc-ba"]},{"id":14,"text":"Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $\\sqrt2a$. Gọi $F$ là trung điểm của cạnh $SA$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(FCD)$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$.\n\nPhát biểu A: $d\\big(S,(FCD)\\big)=\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}.$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra công thức khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(FCD)$.\n\nDùng:\nTính độ dài trong tam giác đều / tam giác vuông.\n\nCông thức diện tích tam giác (Heron).\n\nCông thức thể tích khối chóp:\n$V=\\frac13\\cdot S_{\\text{đáy}}\\cdot h.$\n\nỞ đây: $V_{S.FCD}=\\frac13\\cdot S_{FCD}\\cdot d\\big(S,(FCD)\\big).$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm: \nVì là chóp đều nên $AC=a\\sqrt2$ và $SA=\\sqrt2 a \\Rightarrow SA=AC.$\nĐồng thời trong chóp đều ta có $SC=SA=\\sqrt2 a.$\n⇒ Tam giác $SAC$ có:\n$SA=SC=AC=a\\sqrt2 \\Rightarrow \\triangle SAC \\text{ đều}.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$ nên $CF$ là trung tuyến trong tam giác đều $SAC$:\n$FC=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot AC=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot a\\sqrt2=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nXét tam giác $SAD$: vì $F$ là trung điểm của $SA$ nên $DF$ là trung tuyến ứng với cạnh $SA$.\nÁp dụng công thức trung tuyến:\n$DF^2=\\frac{SD^2+AD^2}{2}-\\frac{SA^2}{4}.$\nMà $SD=SA=\\sqrt2 a,; AD=a$ nên\n$DF^2=\\frac{2a^2+a^2}{2}-\\frac{2a^2}{4}=\\frac{3a^2}{2}-\\frac{a^2}{2}=a^2 \\Rightarrow DF=a.$\n\nXét tam giác $FCD$:\n$CD=a,\\quad DF=a,\\quad FC=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\nDùng Heron:\n$p=\\frac{FC+CD+DF}{2}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{2}+a+a}{2}=a\\cdot\\frac{4+\\sqrt6}{4}.$\n$S_{FCD}=\\sqrt{p(p-FC)(p-CD)(p-DF)}=\\frac{a^2\\sqrt{15}}{8}.$\n\nTính thể tích khối chóp $S.FCD$ theo 2 cách:\n\nCách 1 (lấy đáy là (ABCD)):\nVì $F \\in SA$ nên chiều cao từ $F$ xuống đáy bằng nửa chiều cao từ $S$ xuống đáy.\nTa có chiều cao chóp:\n$SO=\\sqrt{SA^2-AO^2}=\\sqrt{2a^2-\\left(\\frac{a\\sqrt2}{2}\\right)^2}=\\sqrt{2a^2-\\frac{a^2}{2}}=a\\sqrt{\\frac32}=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$⇒ khoảng cách từ $F$ đến đáy:\n$d\\big(F,(ABCD)\\big)=\\frac{SO}{2}=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\nDiện tích tam giác $FCD$ chiếu xuống đáy chính là tam giác $ACD$ (vì $F$ thẳng đứng lên từ $A$ theo trục của chóp đều), nên\n$S_{ACD}=\\frac{1}{2}a^2.$\nDo đó:\n$V_{F.CD}=\\frac13\\cdot S_{ACD}\\cdot d\\big(F,(ABCD)\\big) =\\frac13\\cdot\\frac{a^2}{2}\\cdot\\frac{a\\sqrt6}{4}=\\frac{a^3\\sqrt6}{24}.$\n\nMà $S.FCD$ và $F.FCD$ có cùng đáy $FCD$ và đỉnh cùng nằm trên đường thẳng vuông góc đáy? (thực ra dễ nhất là dùng hệ thức thể tích tỉ lệ theo đoạn trên $SA$): vì $F$ là trung điểm của $SA$ nên với cùng đáy $FCD$,\n$V_{S.FCD}=2V_{F.FCD}=\\frac{a^3\\sqrt6}{12}.$\n\nCách 2 (đúng công thức khoảng cách cần tìm):\n$V_{S.FCD}=\\frac13\\cdot S_{FCD}\\cdot d\\big(S,(FCD)\\big).$\n\nSuy ra:\n$d\\big(S,(FCD)\\big)=\\frac{3V_{S.FCD}}{S_{FCD}}=\\frac{3\\cdot\\frac{a^3\\sqrt6}{12}}{\\frac{a^2\\sqrt{15}}{8}}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{4}}{\\frac{\\sqrt{15}}{8}}=\\frac{2a\\sqrt6}{\\sqrt{15}}=\\frac{2a\\sqrt{90}}{15}=\\frac{2a\\cdot 3\\sqrt{10}}{15}=\\frac{2a\\sqrt{10}}{5}.$\n\nKết luận: khoảng cách đúng là\n$d\\big(S,(FCD)\\big)=\\frac{2a\\sqrt{10}}{5},$ không phải $\\dfrac{a\\sqrt{10}}{5}$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Độ lớn của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $30^\\circ$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\nPhát biểu B: “Độ lớn của góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng đáy bằng $30^\\circ$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần xác định góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$.\n\nKiến thức cần dùng:\nGóc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.\n\nTrong chóp đều, hình chiếu của $SA$ lên đáy là $AO$, với $O$ là tâm hình vuông đáy.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $S.ABCD$ là chóp đều nên:\n$O$ là tâm hình vuông $ABCD$.\n\n$SO \\perp (ABCD)$.\n\nHình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AO$.\n\nDo đó:\n$\\widehat{(SA,(ABCD))}=\\widehat{SAO}.$\n\nXét tam giác $SAO$:\n$SA=\\sqrt2,a.$\n\n$AO$ là nửa đường chéo hình vuông:\n$AO=\\frac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nTính $SO$:\n$SO=\\sqrt{SA^2-AO^2}=\\sqrt{2a^2-\\frac{a^2}{2}}=a\\sqrt{\\frac32}=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nTính sin của góc $\\widehat{SAO}$:\n$\\sin\\widehat{SAO}=\\frac{SO}{SA}=\\frac{\\frac{a\\sqrt6}{2}}{\\sqrt2,a}=\\frac{\\sqrt3}{2}.$\n\nSuy ra:\n$\\widehat{SAO}=60^\\circ.$\n\nVậy góc giữa $SA$ và mặt phẳng đáy là $60^\\circ$, không phải $30^\\circ$.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Thể tích của khối chóp $S.FCD$ bằng $\\dfrac{a^3\\sqrt3}{24}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a.$\n\n$F$ là trung điểm của $SA$.\n\nPhát biểu C: “Thể tích khối chóp $S.FCD$ bằng $\\dfrac{a^3\\sqrt3}{24}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần kiểm tra thể tích khối chóp $S.FCD$.\n\nDùng:\nCông thức thể tích khối chóp:\n$V=\\frac13\\cdot S_{\\text{đáy}}\\cdot h.$\n\nQuan hệ thể tích giữa các khối chóp có cùng chiều cao hoặc cùng đáy.\n\nTính thể tích khối chóp lớn $S.ABCD$ rồi suy ra.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ ⇒ $SO$ là đường cao của hình chóp.\n\nTrong tam giác vuông $SAO$:\n$SA=\\sqrt2,a.$\n\n$AO=\\dfrac{AC}{2}=\\dfrac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nÁp dụng định lý Pythagore:\n$SO^2=SA^2-AO^2=(\\sqrt2,a)^2-\\left(\\frac{a\\sqrt2}{2}\\right)^2=2a^2-\\frac{a^2}{2}=\\frac{3a^2}{2}.$$\\Rightarrow SO=\\frac{a\\sqrt6}{2}.$\n\nDiện tích đáy:\n$S_{ABCD}=a^2.$\n\nThể tích khối chóp lớn:\n$V_{S.ABCD}=\\frac13\\cdot SO\\cdot S_{ABCD}=\\frac13\\cdot\\frac{a\\sqrt6}{2}\\cdot a^2=\\frac{a^3\\sqrt6}{6}.$\n\nXét mặt phẳng $(FCD)$:\n$F$ là trung điểm của $SA$ nên khoảng cách từ $F$ đến đáy bằng $\\dfrac12 SO$.\n\nDo đó, với cùng đáy $CD$, ta có:\n$V_{F.ACD}=\\frac12 V_{S.ACD}.$\n\nMà:\n$V_{S.ACD}=\\frac12 V_{S.ABCD}$\n(vì $ACD$ là nửa hình vuông đáy).\n\nSuy ra:\n$V_{S.FCD}=\\frac12\\cdot\\frac12 V_{S.ABCD}=\\frac14\\cdot\\frac{a^3\\sqrt6}{6}=\\frac{a^3\\sqrt6}{24}.$\n\nSo sánh với phát biểu:\n$\\frac{a^3\\sqrt6}{24}\\ne \\frac{a^3\\sqrt3}{24}.$\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt6}{4}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$.\n\nCạnh bên: $SA=\\sqrt2,a$ nên $SB=\\sqrt2,a$.\n\nPhát biểu D: “Khoảng cách giữa $AC$ và $SB$ bằng $\\dfrac{a\\sqrt6}{4}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\n“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” $AC$ và $SB$ là độ dài đoạn vuông góc chung.\n\nTheo hướng trong ảnh: dựng $OI \\perp SB$ với $I\\in SB$, rồi chứng minh $OI \\perp AC$ ⇒ $d(AC,SB)=OI$.\n\nCần dùng thêm:\nTính đối xứng của chóp đều qua mặt phẳng $(SAC)$.\n\nTrong đáy hình vuông: $OB=\\dfrac{a\\sqrt2}{2}$.\n\nỞ câu trước đã có: $SO=\\dfrac{a\\sqrt6}{2}$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Khi đó:\n$SO\\perp (ABCD),\\quad OB=\\frac{a\\sqrt2}{2}.$\n\nKẻ $OI\\perp SB$ tại $I\\in SB$.\n\nVì hình chóp đều $S.ABCD$ đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$ nên:\nĐiểm $B$ đối xứng với $D$ qua $(SAC)$, và đường thẳng $SB$ đối xứng với $SD$.\n\nDo đó, hình chiếu vuông góc từ $O$ lên $SB$ và lên $SD$ là hai điểm đối xứng qua $(SAC)$, suy ra đoạn $OI$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(SAC)$ tại $O$.\nTừ đó suy ra $OI\\perp AC$.\n⇒ $OI$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SB$, nên:\n$d(AC,SB)=OI.$\n\nXét tam giác vuông $SOB$ (vuông tại $O$), đường cao từ $O$ xuống cạnh huyền $SB$ chính là $OI$. Ta có hệ thức đường cao:\n$\\frac{1}{OI^2}=\\frac{1}{SO^2}+\\frac{1}{OB^2}.$\n\nThay số:\n$SO=\\frac{a\\sqrt6}{2}\\Rightarrow SO^2=\\frac{3a^2}{2},\\qquad OB=\\frac{a\\sqrt2}{2}\\Rightarrow OB^2=\\frac{a^2}{2}.$\n$\\Rightarrow \\frac{1}{OI^2}=\\frac{1}{\\frac{3a^2}{2}}+\\frac{1}{\\frac{a^2}{2}}=\\frac{2}{3a^2}+\\frac{2}{a^2}=\\frac{8}{3a^2}.$ $\\Rightarrow OI^2=\\frac{3a^2}{8}\\Rightarrow OI=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\n\nVậy:\n$d(AC,SB)=\\frac{a\\sqrt6}{4}.$\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"các quy tắc tính xác suất","topic":"bài tập cuối chương viii.","bloomLevel":"apply","tags":["khoảng-cách","góc","thể-tích","hình-chóp-đều","hình-học-không-gian"]},{"id":15,"text":"Trong hộp có $45$ quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ $1$ đến $45$. Lấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu từ hộp đó. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Số cách lấy được cả $3$ quả cầu đánh số chẵn là $1540$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại). \n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề A: Khẳng định số cách lấy được cả $3$ quả cầu đều có số chẵn là $1540$. \n\nCần biết cách đếm số phần tử chẵn trong $1\\ldots45$ và công thức tổ hợp $C_n^k$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách lấy $3$ quả cầu từ $45$ là $C_{45}^{3}$. \n$C_{45}^{3}=\\dfrac{45\\cdot44\\cdot43}{3\\cdot2\\cdot1}=14190.$\n\nSố số chẵn trong $1$ đến $45$ là $\\left\\lfloor\\dfrac{45}{2}\\right\\rfloor=22$ (các số: 2,4,...,44). \n\nSố cách chọn $3$ quả đều là số chẵn là cách chọn $3$ phần tử từ $22$ số chẵn: $C_{22}^{3}.$\n$C_{22}^{3}=\\dfrac{22\\cdot21\\cdot20}{6}=1540.$\n\nSo sánh với mệnh đề: giá trị tính được trùng khớp với $1540$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"B","text":"Xác suất để tích $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là một số chia hết cho $8$ bằng $\\dfrac{523}{1290}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nCó 45 quả cầu, đánh số từ 1 đến 45.\n\nLấy ngẫu nhiên 3 quả cầu.\n\nPhát biểu B: “Xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu là một số chia hết cho 8 bằng $\\dfrac{523}{1290}$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTa cần kiểm tra xác suất để tích 3 số được chọn chia hết cho 8.\n\nKiến thức dùng:\nChia hết cho 8 ⇔ tích có ít nhất 3 thừa số 2.\n\nCông thức xác suất:\n$P(A)=\\dfrac{n(A)}{n(\\Omega)}.$\n\nCó thể tính nhanh bằng cách xét biến cố đối.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách chọn 3 quả bất kỳ:\n$n(\\Omega)=\\mathrm{C}_{45}^3=14840.$\n\nChia các số từ 1 đến 45 thành các nhóm:\n$S_0$: 5 số chia hết cho 8 (8,16,24,32,40).\n\n$S_1$: 11 số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (dạng $4k+2$).\n\n$S_2$: 6 số chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.\n\n$S_3$: 23 số lẻ.\n\nGọi $A$ là biến cố “tích 3 số chia hết cho 8”.\nTa xét biến cố đối $\\overline{A}$: “tích 3 số không chia hết cho 8”.\n\nĐể tích không chia hết cho 8 (tổng số thừa số 2 ≤ 2), xảy ra các TH:\nTH1: 3 số đều thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^3.$\n\nTH2: 1 số thuộc $S_1$ và 2 số thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^2\\cdot 11.$\n\nTH3: 1 số thuộc $S_2$ và 2 số thuộc $S_3$:\n$\\mathrm{C}_{23}^2\\cdot 6.$\n\nTH4: 2 số thuộc $S_1$ và 1 số thuộc $S_3$:\n$23\\cdot \\mathrm{C}_{11}^2.$\n\nTổng số cách để tích không chia hết cho 8:\n$n(\\overline{A})=\\mathrm{C}*{23}^3+\\mathrm{C}*{23}^2(11+6)+23\\cdot \\mathrm{C}_{11}^2$\n$=1771+4301+1265=7337.$\n\nSuy ra:\n$P(A)=1-\\dfrac{7337}{14840}=\\dfrac{7503}{14840}.$\n\nTa thấy:\n$\\dfrac{7503}{14840}\\ne \\dfrac{523}{1290}.$\n⇒ Giá trị xác suất trong phát biểu là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số lẻ bằng $\\dfrac{1}{2}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề C: Xác suất để tổng của $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số lẻ bằng $\\dfrac{1}{2}$.\n\nCần biết quy tắc: tổng là lẻ khi và chỉ khi số lượng số lẻ trong tổng là lẻ (tức là 1 số lẻ hoặc 3 số lẻ).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách: $C_{45}^{3}=14190.$\n\nSố lẻ trong $1\\ldots45$ là $23$, số chẵn là $22$.\n\nTrường hợp tổng lẻ:\nBa số đều lẻ: $C_{23}^{3}=1771.$\n\nMột số lẻ và hai số chẵn: $C_{23}^{1}\\cdot C_{22}^{2}=23\\cdot231=5313.$\n\nTổng số bộ cho tổng lẻ: $1771+5313=7084.$\n\nXác suất thực tế: $\\dfrac{7084}{14190}\\approx0.4992\\ldots$ (không đúng chính xác bằng $\\dfrac{1}{2}$ vì $\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{7095}{14190}$).\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"D","text":"Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu là số chia hết cho $4$ bằng $\\dfrac{323}{1290}$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTrong hộp có $45$ quả cầu đánh số từ $1$ đến $45$.\n\nLấy ngẫu nhiên $3$ quả cầu (không hoàn lại).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nMệnh đề D: Xác suất để tổng $3$ số ghi trên $3$ quả cầu chia hết cho $4$ bằng $\\dfrac{323}{1290}$.\n\nCần phân loại các số theo dư modulo $4$ và đếm các bộ sao cho tổng dư ≡ 0 (mod 4).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTổng số cách: $C_{45}^{3}=14190.$\n\nĐếm các số theo dư mod $4$ trong $1\\ldots45$:\nDư $0$: $11$ (các bội của $4$).\n\nDư $1$: $12$ (vì có thêm 1 phần dư do $45=4\\cdot11+1$).\n\nDư $2$: $11$.\n\nDư $3$: $11$.\n\nCác kiểu tổ hợp 3 phần tử có tổng dư $0\\pmod{4}$ và số cách:\n$(0,0,0):\\; C_{11}^{3}=165.$\n\n$(1,1,2):\\; C_{12}^{2}\\cdot11=66\\cdot11=726.$\n\n$(1,3,0):\\; 12\\cdot11\\cdot11=1452.$\n\n$(2,2,0):\\; C_{11}^{2}\\cdot11=55\\cdot11=605.$\n\n$(3,3,2):\\; C_{11}^{2}\\cdot11=55\\cdot11=605.$\n\nTổng số bộ có tổng chia hết cho $4$: $165+726+1452+605+605=3553.$\n\nXác suất: $\\dfrac{3553}{14190}$. Rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho $11$ cho được $\\dfrac{323}{1290}$.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"xác suất có điều kiện","topic":"bài tập cuối chương vi","bloomLevel":"understand","tags":["tổ-hợp","xác-suất","chia-hết","số-chẵn-lẻ","bài-toán-chọn-phần-tử"]},{"id":16,"text":"Cho hàm số $y=(9-x^2)^{\\dfrac{1}{3}}+\\ln(1-x)$.","type":"true-false","section":"SESSION_2","groupId":"6983842060c34a23f07476d5","statements":[{"label":"A","text":"Tập xác định của hàm số là khoảng $(-\\infty;1)$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số:\n$y = (9 - x^2)^{\\frac{1}{3}} + \\ln(1 - x).$\n\nPhát biểu A: “Tập xác định của hàm số là khoảng $(-\\infty; 1)$.”\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nPhát biểu đang xét tập xác định của hàm số.\n\nCần tìm điều kiện xác định của từng biểu thức:\nLũy thừa $\\frac{1}{3}$\n\nHàm logarit $\\ln(1 - x)$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nXét biểu thức $(9 - x^2)^{\\frac{1}{3}}$:\nTheo chương trình phổ thông, để lũy thừa căn thức xác định, ta cần:\n$9 - x^2 > 0 \\Rightarrow -3 < x < 3.$\n\nXét biểu thức $\\ln(1 - x)$:\nĐiều kiện xác định:\n$1 - x > 0 \\Rightarrow x < 1.$\n\nKết hợp hai điều kiện:\n$\\begin{cases} -3 < x < 3 \\\\ x < 1\\end{cases} \\Rightarrow -3 < x < 1.$\n\nVậy tập xác định của hàm số là:\n$(-3; 1).$\n\nPhát biểu cho rằng tập xác định là $(-\\infty; 1)$ là không đúng.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"B","text":"Hàm số có đạo hàm $y'=\\dfrac{1}{3\\sqrt[3]{(9-x^2)^2}}-\\dfrac{1}{1-x}$.","correct":false,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi kiểm tra công thức đạo hàm của hàm số đã cho.\n\nCần vận dụng quy tắc chuỗi và đạo hàm của $\\ln(\\cdot)$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nĐạo hàm của $(9-x^2)^{1/3}$ theo quy tắc chuỗi:\n$\\frac{d}{dx}\\big[(9-x^2)^{1/3}\\big]=\\frac{1}{3}(9-x^2)^{-2/3}\\cdot(-2x)=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}.$ \n\nĐạo hàm của $\\ln(1-x)$ là\n$\\frac{d}{dx}\\ln(1-x)=\\frac{1}{1-x}\\cdot( -1)=-\\frac{1}{1-x}.$ \n\nDo đó toàn bộ đạo hàm là\n$y'=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}-\\frac{1}{1-x}.$ \n\nPhương án cho trước là\n$y'=\\dfrac{1}{3\\sqrt[3]{(9-x^2)^2}}-\\dfrac{1}{1-x},$\nthiếu nhân tử $-2x$ ở tử số của phần đầu, nên biểu thức đó là sai.\n\n✅ Đáp án: Sai"},{"label":"C","text":"Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: hàm số có nghịch biến (giảm) trên khoảng $(0;1)$ hay không?\n\nCần kiểm tra dấu của đạo hàm trên khoảng đó.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nTa đã tìm được đạo hàm:\n$y'=-\\frac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}-\\frac{1}{1-x}.$\n\nXét với mọi $x\\in(0,1)$:\nThành phần $-\\dfrac{2x}{3(9-x^2)^{2/3}}<0$ vì $x>0$ và mẫu dương.\n\nThành phần $-\\dfrac{1}{1-x}<0$ vì $1-x>0$ trên khoảng này.\n\nTổng của hai số âm là số âm, tức là $y'<0$ trên toàn khoảng $(0,1)$.\n\nVậy hàm nghịch biến (giảm) trên $(0,1).$\n\n✅ Đáp án: Đúng"},{"label":"D","text":"Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\left[\\dfrac{1}{4};\\dfrac{1}{2}\\right]$ bằng $\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln(2)$.","correct":true,"explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=(9-x^2)^{\\frac{1}{3}}+\\ln(1-x).$\n\nKhoảng xét: đoạn $\\left[\\dfrac{1}{4};\\dfrac{1}{2}\\right].$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho và so sánh với biểu thức $\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln(2).$\n\nTa dùng tính liên tục và dấu của đạo hàm để xác định vị trí cực trị trên đoạn.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nHàm liên tục trên đoạn đóng, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại biên hoặc tại điểm mà $y'=0$ bên trong đoạn.\n\nTừ kết quả trước, trên khoảng $(0,1)$ hàm nghịch biến (tức $y'<0$). Do đó trên đoạn $[1/4,1/2]\\subset(0,1)$ hàm cũng nghịch biến.\n\nKhi hàm nghịch biến trên đoạn, giá trị nhỏ nhất đạt tại điểm bên phải là $x=1/2.$\n\nTính giá trị tại $x=1/2$:\n$y\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)=(9-(1/2)^2)^{1/3}+\\ln\\left(1-\\tfrac{1}{2}\\right)=(9-\\tfrac{1}{4})^{1/3}+\\ln\\tfrac{1}{2}$\n$=\\left(\\tfrac{35}{4}\\right)^{1/3}-\\ln 2=\\left(\\tfrac{70}{8}\\right)^{1/3}-\\ln 2=\\dfrac{1}{2}\\sqrt[3]{70}-\\ln 2.$\n\nVậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn là đúng bằng biểu thức đã cho.\n\n✅ Đáp án: Đúng"}],"chapter":"hàm số mũ và hàm số lôgarit","topic":"bài tập cuối chương vi.","bloomLevel":"apply","tags":["tập-xác-định","đạo-hàm","tính-đơn-điệu","giá-trị-nhỏ-nhất","hàm-mũ-lôgarit"]},{"id":17,"text":"Cho hai vectơ $\\vec a,\\vec b$ sao cho $|\\vec a|=\\sqrt2$, $|\\vec b|=2$ và hai vectơ $\\vec x=\\vec a+\\vec b$, $\\vec y=2\\vec a-\\vec b$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ $\\vec a$ và $\\vec b$ (đơn vị độ).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"90","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHai vectơ $\\vec a,\\vec b$ thỏa: $|\\vec a|=\\sqrt2$ và $|\\vec b|=2$.\n\nĐặt $\\vec x=\\vec a+\\vec b$ và $\\vec y=2\\vec a-\\vec b$.\n\nHai vectơ $\\vec x$ và $\\vec y$ vuông góc với nhau (tức $\\vec x\\cdot\\vec y=0$).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi: Tính góc giữa hai vectơ $\\vec a$ và $\\vec b$ (đơn vị độ).\n\nCần áp dụng: quan hệ vô hướng (tích vô hướng) của hai vectơ và công thức $\\vec a\\cdot\\vec b=|\\vec a||\\vec b|\\cos\\theta$ để tìm góc $\\theta$.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nVì $\\vec x\\perp\\vec y$ nên $\\vec x\\cdot\\vec y=0$.\n\nViết tích vô hướng:\n$\\vec x\\cdot\\vec y=(\\vec a+\\vec b)\\cdot(2\\vec a-\\vec b).$\n\nPhân phối tích vô hướng:\n$(\\vec a+\\vec b)\\cdot(2\\vec a-\\vec b)=2\\vec a\\cdot\\vec a -\\vec a\\cdot\\vec b +2\\vec b\\cdot\\vec a -\\vec b\\cdot\\vec b.$\n\nVì $\\vec a\\cdot\\vec b=\\vec b\\cdot\\vec a$ nên thu gọn:\n$=2|\\vec a|^2 +(\\,-1+2\\,)\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2 =2|\\vec a|^2 +\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2.$\n\nÁp dụng điều kiện vuông góc:\n$2|\\vec a|^2 +\\vec a\\cdot\\vec b -|\\vec b|^2=0.$\n\nThay giá trị độ dài: $|\\vec a|^2=(\\sqrt2)^2=2,\\quad |\\vec b|^2=2^2=4.$\nTa có $2\\cdot2 +\\vec a\\cdot\\vec b -4=0 \\implies 4+\\vec a\\cdot\\vec b-4=0 \\implies \\vec a\\cdot\\vec b=0.$\n\nVì $\\vec a\\cdot\\vec b=|\\vec a||\\vec b|\\cos\\theta$ và cả độ dài đều không bằng 0, suy ra $\\cos\\theta=0.$\n\nDo đó $\\theta=90^\\circ.$\n\n✅ Đáp án: 90°","chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ","bloomLevel":"apply","tags":["tích-vô-hướng","góc-giữa-hai-vectơ","vuông-góc","phép-toán-vectơ"]},{"id":18,"text":"Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\\dfrac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$ đạt cực tiểu tại $x=-1$.","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"2","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHàm số $y=\\dfrac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$.\n\nYêu cầu: hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$.\n\nTìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa điều kiện trên.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCần tìm các giá trị nguyên của $m$ sao cho $x=-1$ là điểm đạt cực tiểu của hàm số.\n\nPhải xét:\n$x=-1$ thuộc miền xác định: tức là $x+m\\ne0\\Rightarrow m\\ne1$.\n\n$x=-1$ là điểm tới hạn: đạo hàm tại $x=-1$ bằng 0.\n\nĐiểm đó là cực tiểu: đạo hàm bậc hai tại $x=-1$ dương.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nChia đa thức để viết hàm dễ tính đạo hàm:\nChia $x^2+(m-1)x+3-2m$ cho $x+m$ ta được\n$y=x-1+\\dfrac{3-m}{x+m}.$\n\nGọi $A=3-m$, khi đó $y=x-1+\\dfrac{A}{x+m}.$\n\nTính đạo hàm:\n$y'=1-\\dfrac{A}{(x+m)^2}.$\n\nYêu cầu điểm tới hạn tại $x=-1$:\n$y'(-1)=0\\Rightarrow 1-\\dfrac{A}{(m-1)^2}=0.$\n\nDo đó $A=(m-1)^2$, tức là $3-m=(m-1)^2.$\n\nGiải phương trình cho $m$:\n$(m-1)^2 + m -3 =0 \\Rightarrow m^2 - m -2 =0.$\n\nGiải được $m=2$ hoặc $m=-1$.\n\nKiểm tra điều kiện cực tiểu bằng đạo hàm bậc hai:\n$y''=\\dfrac{2A}{(x+m)^3}\\Rightarrow y''(-1)=\\dfrac{2A}{(m-1)^3}.$\n\nThay $A=(m-1)^2$ ta được $y''(-1)=\\dfrac{2}{m-1}.$\n\nĐể là cực tiểu cần $y''(-1)>0\\Rightarrow m-1>0\\Rightarrow m>1.$\n\nTrong hai nghiệm chỉ có $m=2$ thỏa.\n\nKiểm tra miền xác định: với $m=2$, $m\\ne1$ nên hợp lệ.\n\n✅ Đáp án: 2","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"tính đơn điệu và cực trị của hàm số","bloomLevel":"apply","tags":["cực-trị","tham-số","hàm-phân-thức","điều-kiện-cực-tiểu","tính-đạo-hàm"]},{"id":19,"text":"Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\\alpha$. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng $\\vec F_1,\\vec F_2,\\vec F_3,\\vec F_4$ đều có cường độ là $4800N$, trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\\sqrt6N$. Tính $\\sin\\alpha$ (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"0,92","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nKhung có đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang.\n\nCác đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ bằng nhau và mỗi dây tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $\\alpha$.\n\nCác lực căng trên bốn dây là $\\vec F_1,\\vec F_2,\\vec F_3,\\vec F_4$ đều có cường độ $4800\\ \\text{N}$.\n\nTrọng lượng của toàn khung (bao gồm ô tô) là $7200\\sqrt6\\ \\text{N}$.\n\nHình vẽ (đã cho): điểm treo $E$ trên móc cần cẩu, bốn dây đi tới các đỉnh $A,B,C,D$ của khung, khung treo một bệ có ô tô (thể hiện hệ lực cân bằng theo phương thẳng đứng).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nCâu hỏi yêu cầu tính giá trị của $\\sin\\alpha$.\n\nCần áp dụng cân bằng lực theo phương thẳng đứng: tổng các thành phần phương thẳng đứng của các lực căng phải cân bằng trọng lượng (vì hệ được kéo đều lên theo phương thẳng đứng).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nMỗi dây có độ căng $T=4800\\ \\text{N}$ và tạo góc $\\alpha$ so với mặt phẳng ngang, nên thành phần thẳng đứng của mỗi lực là $\\left|T\\right|\\sin\\alpha$. (Lưu ý: ta tính theo độ lớn của lực, không xét hướng lực nên lấy trị tuyệt đối.)\n\nTổng thành phần thẳng đứng của bốn dây là $4T\\sin\\alpha$ và phải bằng trọng lượng $W$:\n$4T\\sin\\alpha = W.$\n\nThay số: $T=4800,\\quad W=7200\\sqrt6.$\n$4\\cdot 4800\\sin\\alpha = 7200\\sqrt6.$\n\nGiải cho $\\sin\\alpha$:\n$\\sin\\alpha = \\dfrac{7200\\sqrt6}{4\\cdot 4800} = \\dfrac{7200\\sqrt6}{19200} = \\dfrac{3}{8}\\sqrt6.$\n\nTính số: $\\sqrt6\\approx 2{,}4494897$ nên\n$\\sin\\alpha \\approx \\dfrac{3}{8}\\times 2{,}4494897 \\approx 0{,}9185587.$\n\nLàm tròn đến chữ số hàng phần trăm (hai chữ số thập phân): $\\sin\\alpha \\approx 0{,}92.$\n\n✅ Đáp án: sin α ≈ 0,92","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DPwVv2TQFU4jOm7H0TJSz7mt0Czw918J_2026-02-04173833.png"],"chapter":"vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian","topic":"bài tập cuối chương ii","bloomLevel":"apply","tags":["vectơ","bài-toán-thực-tế","lực-căng-dây","sin","hình-hộp"]},{"id":20,"text":"Cho hình tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $6$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CA,CB$. $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt tứ diện $ABCD$. Tính diện tích hình $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"8,93","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nTứ diện đều $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $6$.\n\n$M, N$ lần lượt là trung điểm của $CA, CB$.\n\n$P\\in BD$ sao cho $BP=2PD$.\n\n$(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của tứ diện $ABCD$.\n\nTính diện tích hình $(H)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nXác định thiết diện của mặt phẳng $(MNP)$ cắt tứ diện $ABCD$.\n\nTính diện tích thiết diện đó bằng các tính chất song song và công thức diện tích hình thang.\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nDo $M,N$ là trung điểm của $CA,CB$ nên $MN\\parallel AB \\Rightarrow (MNP)\\parallel AB.$\n\nGọi $Q$ là giao điểm của $(MNP)$ với $AD \\Rightarrow (MNPQ)\\parallel AB \\Rightarrow PQ\\parallel AB.$\n\nTa có\n$\\frac{DQ}{DA}=\\frac{DP}{DB}=\\frac{1}{3}.$\nSuy ra thiết diện $(H)$ là tứ giác $MNPQ.$\n\nXét tam giác $ACD$:\n$\\frac{AM}{AC}=\\frac12 \\Rightarrow AM=3.$\n\n$\\frac{AQ}{AD}=\\frac23 \\Rightarrow AQ=4.$\n\nTam giác $AMQ$ có\n$MQ^2=AM^2+AQ^2-2\\cdot AM\\cdot AQ\\cdot \\cos A.$\nVì $\\triangle ACD$ đều nên $\\angle A=60^\\circ$, do đó\n$MQ=\\sqrt{3^2+4^2-2\\cdot3\\cdot4\\cdot\\cos60^\\circ}=\\sqrt{13}.$\n\nTương tự, xét tam giác $BPN$:\n$BD=6,\\ BP=2PD \\Rightarrow BP=4,\\ PD=2.$\n\n$N$ là trung điểm $CB \\Rightarrow BN=3.$\n\nTrong mặt $BCD$ là tam giác đều nên $\\angle PBN=\\angle CBD=60^\\circ.$\n$PN=\\sqrt{PB^2+BN^2-2\\cdot PB\\cdot BN\\cdot\\cos60^\\circ}=\\sqrt{13}.$\n\nXét tam giác $ADB$ có $QP\\parallel AB$ nên\n$\\frac{QP}{AB}=\\frac{QD}{AD}=\\frac{DP}{DB}=\\frac13 \\Rightarrow QP=2.$\n\nXét tam giác $ABC$ có $MN\\parallel AB$ nên\n$\\frac{MN}{AB}=\\frac{CM}{CA}=\\frac{CN}{CB}=\\frac12 \\Rightarrow MN=3.$\n\nXét tứ giác $MNPQ$:\n$QP\\parallel MN$ và $QM=PN=\\sqrt{13}$ nên $MNPQ$ là hình thang cân.\n\nKẻ đường cao $QI, PJ$ ($I,J\\in MN$). Khi đó:\n$IJ=QP \\Rightarrow MI=JN=\\frac{MN-PQ}{2}=\\frac{3-2}{2}=\\frac12.$\n\n$QI=PJ=\\sqrt{QM^2-MI^2}=\\sqrt{13-\\left(\\frac12\\right)^2}=\\frac{\\sqrt{51}}{2}.$\n\nDiện tích:\n$S_{MNPQ}=QI\\cdot\\frac{QP+MN}{2}=\\frac{\\sqrt{51}}{2}\\cdot\\frac{2+3}{2}=\\frac{5\\sqrt{51}}{4}\\approx 8{,}93.$\n\n✅ Đáp án: 8,93","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1WWVVaBOrWjMDl-qcrDhXa9bmSoX2qQd6_2026-02-04173830.png"],"chapter":"quan hệ song song trong không gian","topic":"đường thẳng và mặt phẳng trong không gian","bloomLevel":"analyze","tags":["giao-tuyến","mặt-phẳng-cắt","diện-tích-thiết-diện","tứ-diện-đều","hình-học-không-gian"]},{"id":21,"text":"Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện trên một bờ sông thẳng rộng $3$ km (như hình vẽ). Anh chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ sau đó chạy đến $B$. Biết anh có thể chèo thuyền $6$ km/h, chạy $8$ km/h và quãng đường $BC=8$ km. Biết tốc độ dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến $B$ là $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ trong đó $a,b,c,d\\in\\mathbb{N}^*$, $\\dfrac{b}{c}$ là phân số tối giản và $d$ là số nguyên tố. Giá trị của $a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"17","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nChiều rộng sông (khoảng cách giữa hai bờ) là $3$ km (tức $AC=3$).\n\nNgười đàn ông chèo thuyền với vận tốc $6\\ \\text{km/h}$ và chạy với vận tốc $8\\ \\text{km/h}$.\n\nTrên bờ đối diện, điểm $C$ là điểm đối diện với $A$, điểm $B$ nằm hạ lưu cách $C$ một đoạn $BC=8$ km.\n\nAnh chèo từ $A$ tới một điểm $D$ nằm giữa $C$ và $B$ (tức $CD=x,\\ 0\\le x\\le 8$), sau đó chạy từ $D$ đến $B$.\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTìm thời gian ngắn nhất để từ $A$ tới $B$ khi anh chèo tới một điểm $D$ bất kỳ giữa $C$ và $B$ rồi chạy tiếp đến $B$.\n\nThời gian tối thiểu được cho dưới dạng $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ với $a,b,c,d\\in\\mathbb{N}^*$, $\\dfrac{b}{c}$ tối giản và $d$ là số nguyên tố. Hỏi giá trị của $a+b+c+d$.\n\nCần sử dụng kiến thức: công thức khoảng cách (định lý Py-ta-go), biểu thức thời gian = quãng đường / vận tốc, và tối ưu hóa bằng đạo hàm (tìm cực trị).\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $x=CD$ (km), vậy $0\\le x\\le 8$ và $DB=8-x$.\n\nQuãng đường chèo từ $A$ đến $D$ theo định lý Py-ta-go là $AD=\\sqrt{x^2+3^2}=\\sqrt{x^2+9}$.\n\nThời gian tổng $T(x)$ là tổng thời gian chèo và chạy:\n$T(x)=\\frac{\\sqrt{x^2+9}}{6}+\\frac{8-x}{8}.$\n\nTìm đạo hàm:\n$T'(x)=\\frac{1}{6}\\cdot\\frac{x}{\\sqrt{x^2+9}}-\\frac{1}{8}.$\nGiải phương trình $T'(x)=0$:\n$\\frac{x}{6\\sqrt{x^2+9}}=\\frac{1}{8}\\quad\\Rightarrow\\quad\\frac{x}{\\sqrt{x^2+9}}=\\frac{3}{4}.$\n\nBình phương hai vế:\n$\\frac{x^2}{x^2+9}=\\frac{9}{16}\\quad\\Rightarrow\\quad 16x^2=9x^2+81\\quad\\Rightarrow\\quad 7x^2=81.$\nDo đó $x^2=\\frac{81}{7}\\Rightarrow x=\\frac{9}{\\sqrt7}.$\n\nTính $\\sqrt{x^2+9}$:\n$x^2+9=\\frac{81}{7}+9=\\frac{144}{7}\\Rightarrow \\sqrt{x^2+9}=\\frac{12}{\\sqrt7}.$\n\nThời gian tối thiểu:\n\nSo dạng yêu cầu là $a+\\dfrac{b}{c}\\sqrt d$ với $a=1,\\ b=1,\\ c=8,\\ d=7$ (và $d=7$ là số nguyên tố). Vậy\n$a+b+c+d=1+1+8+7=17.$\n\n✅ Đáp án: 17","chapter":"ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số","topic":"bài tập cuối chương i","bloomLevel":"apply","tags":["tối-ưu-hóa","bài-toán-thực-tế","đạo-hàm","thời-gian-ngắn-nhất","ứng-dụng-đạo-hàm"]},{"id":22,"text":"Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $2$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).","type":"short-answer","section":"SESSION_3","groupId":"6983842060c34a23f07476d6","correctAnswer":"1,15","explanation":"📃 Thông tin đề bài cho:\nHình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2$\n\nHình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$\n\nKhoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\\dfrac{\\sqrt3}{2}$\n\n❓ Hiểu câu hỏi:\nTính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ (làm tròn đến hàng phần trăm)\n\nDùng công thức $V = h\\cdot S_{ABC}$ với $h = d\\big(A', (ABC)\\big)=A'G$\n\n🔎 Hướng dẫn cách làm:\nGọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $I$ là trung điểm $BC$, $J$ là hình chiếu của $G$ lên $AA'$, $K$ là hình chiếu của $I$ lên $BC$.\n\nTa có:\n$AA' \\parallel BB' \\Rightarrow d(AA',BC)=d(A',BC)=d(A'B',BC)=d\\big(A', (BB'C'C)\\big)=d\\big(A,(BB'C'C)\\big).$\n\nVì $\\triangle ABC$ đều nên $AI\\perp BC$. Lại có $A'G\\perp (ABC)\\Rightarrow A'G\\perp BC$.\nSuy ra $BC\\perp (AA'I)\\Rightarrow IK\\perp BC$, do đó\n$IK=d\\big(A,(BB'C'C)\\big)=\\dfrac{\\sqrt3}{2}.$\n\nXét tam giác $AIK$ có\n$\\frac{JG}{IK}=\\frac{KG}{KI}=\\frac{AG}{AI}=\\frac{2}{3}\\Rightarrow JG=\\frac{2}{3},IK=\\frac{2}{3}\\cdot\\frac{\\sqrt3}{2}=\\frac{\\sqrt3}{3}.$\n\nVì $\\triangle ABC$ đều cạnh $2$ nên\n$AI=\\frac{\\sqrt3}{2}\\cdot 2=\\sqrt3 \\Rightarrow AG=\\frac{2}{3}AI=\\frac{2\\sqrt3}{3}.$\n\nXét tam giác vuông $AG A'$ có (hệ thức đường cao):\n$\\frac{1}{JG^2}=\\frac{1}{AG^2}+\\frac{1}{A'G^2}.$\nThay $JG=\\frac{\\sqrt3}{3},\\ AG=\\frac{2\\sqrt3}{3}$:\n$\\frac{1}{(\\frac{\\sqrt3}{3})^2}=\\frac{1}{(\\frac{2\\sqrt3}{3})^2}+\\frac{1}{A'G^2} \\Rightarrow 3=\\frac{3}{4}+\\frac{1}{A'G^2} \\Rightarrow \\frac{1}{A'G^2}=\\frac{9}{4} \\Rightarrow A'G=\\frac{2}{3}.$\n\nDiện tích đáy:\n$S_{ABC}=\\frac{\\sqrt3}{4}\\cdot 2^2=\\sqrt3.$\n\nThể tích:\n$V=A'G\\cdot S_{ABC}=\\frac{2}{3}\\cdot\\sqrt3=\\frac{2\\sqrt3}{3}\\approx 1{,}15.$\n\n✅ Đáp án:1,15","images":["/static/mock-exam/media/pdf-de-kscl-thpt-toan-truong-thpt-chuyen-bac-ninh-tinh-bac-ninh-2026-lan-1-co-dap-an/1DPwVv2TQFU4jOm7H0TJSz7mt0Czw918J_2026-02-04173833.png"],"chapter":"quan hệ vuông góc trong không gian","topic":"thể tích","bloomLevel":"analyze","tags":["thể-tích-lăng-trụ","khoảng-cách","tam-giác-đều","hình-chiếu","tính-thể-tích"]}],"mindmap":"# Đề khảo sát chất lượng THPT môn Toán trường THPT Chuyên Bắc Ninh Sở GD&ĐT Bắc Ninh năm 2026 - Lần 1\n## Đạo hàm\n### ⭐⭐ Các quy tắc tính đạo hàm. — Câu 1, Câu 5\n## Vectơ\n### ⭐ Bài tập cuối chương iv — Câu 2\n## Hàm số mũ và hàm số lôgarit\n### ⭐⭐ Hàm số mũ và hàm số lôgarit — Câu 3\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương vi. — Câu 16\n## Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm\n### ⭐⭐ Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm — Câu 4\n## Giới hạn. hàm số liên tục\n### ⭐⭐ Giới hạn của dãy số — Câu 6\n## Quan hệ song song trong không gian\n### ⭐⭐⭐⭐ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian — Câu 7, Câu 20\n### ⭐⭐⭐ Hai mặt phẳng song song — Câu 10\n## Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác\n### ⭐ Hàm số lượng giác — Câu 8\n## Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian\n### ⭐ Vectơ trong không gian — Câu 9\n### ⭐⭐⭐ Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ — Câu 17\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương ii — Câu 19\n## Dãy số. cấp số cộng và cấp số nhân\n### ⭐⭐ Cấp số nhân — Câu 11\n## Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số\n### ⭐⭐⭐ Tính đơn điệu và cực trị của hàm số — Câu 12, Câu 18\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương i — Câu 13, Câu 21\n## Các quy tắc tính xác suất\n### ⭐⭐⭐ Bài tập cuối chương viii. — Câu 14\n## Xác suất có điều kiện\n### ⭐⭐ Bài tập cuối chương vi — Câu 15\n## Quan hệ vuông góc trong không gian\n### ⭐⭐⭐⭐ Thể tích — Câu 22","analysis":"## 📖 Hiểu đề\n\n- Đề này kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng trong khảo sát hàm số, tư duy hình học không gian (vectơ, mặt phẳng, thể tích), xử lý hàm số (mũ, logarit, lượng giác, giới hạn, cấp số), và xác suất tổ hợp/thống kê. Mục tiêu đánh giá khả năng vận dụng kiến thức toán phổ thông vào bài toán có tính ứng dụng, đặc biệt là các bài toán hình học không gian và tối ưu hóa.\n- Phong cách ra đề: Cân bằng giữa các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Thiên về vận dụng và vận dụng cao trong hình học không gian và đạo hàm, có nhiều bài toán tình huống thực tế (như bài toán tối ưu đường đi, lực căng). Có sự kết hợp giữa tính toán và suy luận logic, đặc biệt ở các câu Đúng-Sai và bài toán mở.\n- Kiến thức nền xuyên suốt: Đạo hàm (quy tắc, ý nghĩa hình học), Vectơ và tọa độ trong không gian, Hàm số (tập xác định, giới hạn, tính đơn điệu), Cấp số, Xác suất tổ hợp. Các khái niệm này được sử dụng xuyên suốt nhiều câu hỏi, đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt.\n\n## 🔍 Phân tích đề\n\n**1. Cấu trúc đề** \n12 câu trắc nghiệm + 4 câu Đúng-Sai (mỗi câu 4 ý a/b/c/d) + 6 câu trả lời ngắn = 22 câu.\n\n**2. Chủ đề trọng tâm** \n- Hình học không gian (vectơ, mặt phẳng, thể tích): 9 câu (câu 2,7,9,10,14,17,19,20,22). \n- Đạo hàm và Ứng dụng đạo hàm (khảo sát hàm số, cực trị, đơn điệu): 6 câu (câu 1,5,12,13,18,21). \n- Hàm số cơ bản (mũ, logarit, lượng giác, giới hạn, cấp số): 5 câu (câu 3,6,8,11,16). \n- Thống kê và Xác suất: 2 câu (câu 4,15).\n\n**3. Độ khó** \n- Hình học không gian: Độ khó từ trung bình đến rất khó. Phần này phân hóa rõ ràng, đặc biệt các câu vận dụng cao (câu 20,22) yêu cầu tư duy không gian phức tạp và kết hợp nhiều khái niệm (mặt phẳng cắt, thể tích). Khái niệm cốt lõi: vectơ, quan hệ song song/vuông góc, trọng tâm, thể tích khối. \n- Đạo hàm và Ứng dụng: Độ khó trung bình đến khó. Câu nhận biết (1) dễ, các câu vận dụng (13,18,21) đòi hỏi phân tích đồ thị đạo hàm, tối ưu hóa. Phân hóa ở các câu cần kết hợp đồ thị và tính toán. Khái niệm cốt lõi: đạo hàm, tiếp tuyến, cực trị, đơn điệu. \n- Hàm số cơ bản: Độ khó trung bình. Câu nhận biết (8) dễ, câu vận dụng (16) khó do kết hợp nhiều tính chất. Cần nắm vững tập xác định, giới hạn, tính chất hàm số. \n- Thống kê - Xác suất: Độ khó trung bình. Câu 4 thông hiểu về trung vị ghép nhóm, câu 15 vận dụng xác suất tổ hợp, đòi hỏi tính toán tổ hợp. Khái niệm cốt lõi: trung vị, xác suất, tổ hợp."}